Anmerkung 1.

Nichts pflegt dem Etwas entgegengesetzt zu werden; Etwas aber ist schon ein bestimmtes Seyendes, das sich von anderem Etwas unterscheidet; so ist also auch das dem Etwas entgegengesetzte Nichts, das Nichts von irgend Etwas, ein bestimmtes Nichts.

Hier aber ist das Nichts in seiner unbestimmten Einfachheit zu nehmen. - Wollte man es für richtiger halten, daß statt des Nichts dem Seyn das Nichtseyn entgegengesetzt würde, so wäre in Rücksicht auf das Resultat nichts dawider zu haben, denn im Nichtseyn ist die Beziehung auf das Seyn enthalten; es ist Beides, Seyn und die Negation desselben, in Einem ausgesprochen, das Nichts, wie es im Werden ist. Aber es ist zunächst nicht um die Form der Entgegensetzung, d. i. zugleich der Beziehung zu thun, sondern um die abstrakte, unmittelbare Negation, das Nichts rein für sich, die beziehungslose Verneinung, - was man, wenn man will, auch durch das bloße: Nicht ausdrücken könnte.

Den einfachen Gedanken des reinen Seyns haben die Eleaten zuerst, vorzüglich Parmenides als das Absolute und als einzige Wahrheit, und in den übergebliebenen Fragmenten von ihm, mit der reinen Begeisterung des Denkens, das zum ersten Male sich in seiner absoluten Abstraktion erfaßt, ausgesprochen: nur das Seyn ist, und das Nichts ist gar nicht. - In orientalischen Systemen, wesentlich im Buddaismus ist bekanntlich das Nichts, das Leere, das absolute Princip. - Der tiefsinnige Heraklit hob gegen jene einfache und einseitige Abstraktion den höheren totalen Begriff des Werdens hervor, und sagte: das Seyn ist so wenig, als das Nichts, oder auch Alles fließt, das heißt, Alles ist Werden. - Die populären, besonders orientalischen Sprüche, daß alles, was ist, den Keim seines Vergehens in seiner Geburt selbst habe, der Tod umgekehrt der Eingang in neues Leben sey, drücken im Grunde dieselbe Einigung des Seyns und Nichts aus. Aber diese Ausdrücke haben ein Substrat, an dem der Uebergang geschieht; Seyn und Nichts werden in der Zeit auseinander gehalten, als in ihr abwechselnd vorgestellt, nicht aber in ihrer Abstraktion gedacht, und daher auch nicht so, daß sie an und für sich dasselbe sind.

Ex nihilo nihil fit - ist einer der Sätze, denen in der Metaphysik große Bedeutung zugeschrieben wurde. Es ist darin entweder nur die gehaltlose Tautologie zu sehen: Nichts ist Nichts; oder wenn das Werden wirkliche Bedeutung darin haben sollte, so ist vielmehr, indem nur Nichts aus Nichts wird, in der That kein Werden darin vorhanden, denn Nichts bleibt darin Nichts. Das Werden enthält, daß Nichts nicht Nichts bleibe, sondern in sein Anderes, in das Seyn übergehe. - Wenn die spätere vornehmlich christliche Metaphysik den Satz, aus Nichts werde Nichts, verwarf, so behauptete sie einen Uebergang von Nichts in Seyn; so synthetisch oder bloß vorstellend sie auch diesen Satz nahm, so ist doch auch in der unvollkommensten Vereinigung ein Punkt enthalten, worin Seyn und Nichts zusammentreffen, und ihre Unterschiedenheit verschwindet. - Seine eigentliche Wichtigkeit hat der Satz: Aus Nichts wird Nichts, Nichts ist eben Nichts, durch seinen Gegensatz gegen das Werden überhaupt und damit auch gegen die Erschaffung der Welt aus Nichts. Diejenigen, welche den Satz: Nichts ist eben Nichts, sogar sich dafür ereifernd, behaupten, sind bewußtlos darüber, daß sie damit dem abstrakten Pantheismus der Eleaten, der Sache nach auch dem spinozistischen, beipflichten. Die philosophische Ansicht, welcher: Seyn ist nur Seyn, Nichts ist nur Nichts, als Princip gilt, verdient den Namen Identitätssystem; diese abstrakte Identität ist das Wesen des Pantheismus.

Wenn das Resultat, daß Seyn und Nichts dasselbe ist, für sich auffällt oder paradox scheint, so ist hierauf nicht weiter zu achten; es wäre sich vielmehr über jene Verwunderung zu verwundern, die sich so neu in der Philosophie zeigt und vergißt, daß in dieser Wissenschaft ganz andere Bestimmungen vorkommen, als im gewöhnlichen Bewußtseyn und im sogenannten gemeinen Menschenverstande, der nicht gerade der gesunde, sondern auch der zu Abstraktionen und zu dem Glauben oder vielmehr Aberglauben an Abstraktionen heraufgebildete Verstand ist. Es wäre nicht schwer, diese Einheit von Seyn und Nichts, in jedem Beispiele, in jedem Wirklichen oder Gedanken aufzuzeigen. Es muß dasselbe, was oben von der Unmittelbarkeit und Vermittelung, (welche letztere eine Beziehung aufeinander, damit Negation enthält), vom Seyn und Nichts gesagt werden, daß es nirgend im Himmel und auf Erden Etwas gebe, was nicht beides Seyn und Nichts in sich enthielte. Freilich da hierbei von einem irgend Etwas und Wirklichem die Rede wird, so sind darin jene Bestimmungen nicht mehr in der vollkommenen Unwahrheit, in der sie als Seyn und Nichts sind, vorhanden, sondern in einer weitern Bestimmung, und werden z. B. als Positives und Negatives aufgefaßt, jenes das gesetzte, reflektirte Seyn, dieses das gesetzte, reflektirte Nichts; aber Positives und Negatives enthalten jenes das Seyn, dieses das Nichts als ihre abstrakte Grundlage. - So in Gott selbst enthält die Qualität, Thätigkeit, Schöpfung, Macht u.s.f. wesentlich die Bestimmung des Negativen, - sie sind ein Hervorbringen eines Anderen. Aber eine empirische Erläuterung von jener Behauptung durch Beispiele wäre hier ganz und gar überflüssig. Da nunmehr diese Einheit von Seyn und Nichts als erste Wahrheit ein für allemal zu Grunde liegt, und das Element von allem Folgenden ausmacht, so sind außer dem Werden selbst, alle ferneren logischen Bestimmungen: Daseyn, Qualität, überhaupt alle Begriffe der Philosophie, Beispiele dieser Einheit. - Aber der sich so nennende gemeine oder gesunde Menschenverstand mag auf den Versuch hingewiesen werden, insofern er die Ungetrenntheit des Seyns und Nichts verwirft, sich ein Beispiel ausfindig zu machen, worin eins vom andern (Etwas von Grenze, Schranke, oder das Unendliche, Gott, wie so eben erwähnt, von Thätigkeit) getrennt zu finden sey. Nur die leeren Gedankendinge, Seyn und Nichts, selbst, sind diese Getrennte, und sie sind es, die der Wahrheit, der Ungetrenntheit beider, die allenthalben vor uns ist, von jenem Verstande vorgezogen werden.

Man kann nicht die Absicht haben wollen, den Verwirrungen, in welche sich das gewöhnliche Bewußtseyn bei einem solchen logischen Satze versetzt, nach allen Seiten hin begegnen zu wollen, denn sie sind unerschöpflich. Es können nur einige erwähnt werden. Ein Grund solcher Verwirrung ist unter andern, daß das Bewußtseyn zu solchem abstrakten logischen Satze Vorstellungen von einem konkreten Etwas mitbringt und vergißt, daß von einem solchen nicht die Rede ist, sondern nur von den reinen Abstraktionen des Seyns und Nichts, und daß diese allein festzuhalten sind.

Seyn und Nichtseyn ist dasselbe; also ist es dasselbe, ob ich bin oder nicht bin, ob dieses Haus ist oder nicht ist, ob diese hundert Thaler in meinem Vermögenszustand sind oder nicht. - Dieser Schluß oder Anwendung jenes Satzes verändert dessen Sinn vollkommen. Der Satz enthält die reinen Abstraktionen des Seyns und Nichts; die Anwendung aber macht ein bestimmtes Seyn und bestimmtes Nichts daraus. Allein vom bestimmten Seyn ist, wie gesagt, hier nicht die Rede. Ein bestimmtes, ein endliches Seyn ist ein solches, das sich auf anderes bezieht; es ist ein Inhalt, der im Verhältnisse der Nothwendigkeit mit anderem Inhalte, mit der ganzen Welt, steht. In Rücksicht des wechselbestimmenden Zusammenhangs des Ganzen konnte die Metaphysik die - im Grunde tautologische - Behauptung machen, daß wenn ein Stäubchen zerstört würde, das ganze Universum zusammenstürzte. In den Instanzen, die gegen den in Rede stehenden Satz gemacht werden, erscheint etwas als nicht gleichgültig, ob es sey oder nicht sey, nicht um des Seyns oder Nichtseyns willen, sondern seines Inhalts willen, der es mit anderem zusammenhängt. Wenn ein bestimmter Inhalt, irgend ein bestimmtes Daseyn vorausgesetzt wird, so ist dieß Daseyn, weil es bestimmtes ist, in mannigfaltiger Beziehung auf anderen Inhalt; es ist für dasselbe nicht gleichgültig, ob ein gewisser anderer Inhalt, mit dem es in Beziehung steht, ist oder nicht ist; denn nur durch solche Beziehung ist es wesentlich das, was es ist. Dasselbe ist der Fall in dem Vorstellen (indem wir das Nichtseyn in dem bestimmteren Sinne des Vorstellens gegen die Wirklichkeit nehmen), in dessen Zusammenhange das Seyn oder die Abwesenheit eines Inhalts, der als bestimmt mit anderem in Beziehung vorgestellt wird, nicht gleichgültig ist. - Diese Betrachtung enthält dasselbe, was ein Hauptmoment in der Kantischen Kritik des ontologischen Beweises vom Daseyn Gottes ausmacht, auf welche jedoch hier nur im Betreff des in ihr vorkommenden Unterschieds von Seyn und Nichts überhaupt und von bestimmtem Seyn oder Nichtseyn Rücksicht genommen wird. - Bekanntlich wurde in jenem sogenannten Beweise der Begriff eines Wesens vorausgesetzt, dem alle Realitäten zukommen, somit auch die Existenz, die gleichfalls als eine der Realitäten angenommen wurde. Die Kantische Kritik hielt sich vornehmlich daran, daß die Existenz oder das Seyn (was hier für gleichbedeutend gilt) keine Eigenschaft oder kein reales Prädikat sey, das heiße, nicht ein Begriff von etwas, was zu dem Begriffe eines Dinges hinzukommen könne.Kants Kritik der r. Vern. 2te Aufl. S. 628ff. - Kant will damit sagen, daß Seyn keine Inhaltsbestimmung sey. - Also enthalte, fährt er fort, das Mögliche nicht mehr als das Wirkliche; hundert wirkliche Thaler enthalten nicht das Mindeste mehr, als hundert mögliche; - nämlich jene haben keine andere Inhaltsbestimmung als diese. Für diesen als isolirt betrachteten Inhalt ist es in der That gleichgültig, zu seyn oder nicht zu seyn; es liegt in ihm kein Unterschied des Seyns oder Nichtseyns, dieser Unterschied berührt ihn überhaupt gar nicht; die hundert Thaler werden nicht weniger, wenn sie nicht sind, und nicht mehr, wenn sie sind. Ein Unterschied muß erst anderswoher kommen. - "Hingegen, erinnert Kant, in meinem Vermögenszustande ist mehr bei hundert wirklichen Thalern, als bei dem bloßen Begriff derselben, oder bei ihrer Möglichkeit. Denn der Gegenstand ist bei der Wirklichkeit nicht bloß in meinem Begriff analytisch enthalten, sondern kommt zu meinem Begriffe, (der eine Bestimmung meines Zustandes ist,) synthetisch hinzu, ohne daß durch dieses Seyn außer meinem Begriffe, diese gedachten hundert Thaler selbst im mindesten vermehrt würden."

Es werden hier zweierlei Zustände, um bei den Kantischen Ausdrücken, die nicht ohne verworrene Schwerfälligkeit sind, zu bleiben, vorausgesetzt, der eine, welchen Kant den Begriff nennt, darunter die Vorstellung zu verstehen ist, und ein anderer, der Vermögenszustand. Für den einen wie für den andern, das Vermögen wie das Vorstellen, sind hundert Thaler eine Inhaltsbestimmung, oder "sie kommen zu einem solchen, wie Kant sich ausdrückt, synthetisch hinzu;" Ich als Besitzer von hundert Thalern, oder als Nichtbesitzer derselben, oder auch ich als mir hundert Thaler vorstellend, oder sie nicht vorstellend, ist allerdings ein verschiedener Inhalt. Allgemeiner gefaßt: Die Abstraktionen von Seyn und Nichts hören beide auf, Abstraktionen zu seyn, indem sie einen bestimmten Inhalt erhalten; Seyn ist dann Realität, das bestimmte Seyn von Thalern, das Nichts Negation, das bestimmte Nichtseyn von denselben. Diese Inhaltsbestimmtheit selbst, die hundert Thaler, auch abstrakt für sich gefaßt, ist in dem einen unverändert dasselbe, was in dem andern. Indem aber ferner das Seyn als Vermögens-Zustand genommen wird, treten die hundert Thaler in Beziehung zu einem Zustand, und für diesen ist solche Bestimmtheit, die sie sind, nicht gleichgültig; ihr Seyn oder Nichtseyn ist nur Veränderung; sie sind in die Sphäre des Daseyns versetzt. Wenn daher gegen die Einheit des Seyns und Nichts urgirt wird, es sey doch nicht gleichgültig, ob dieß und jenes (die Thaler) sey oder nicht sey, so ist es eine Täuschung, daß wir den Unterschied bloß aufs Seyn und Nichtseyn hinausschieben, ob ich die hundert Thaler habe oder nicht habe - eine Täuschung, die wie gezeigt, auf der einseitigen Abstraktion beruht, welche das bestimmte Daseyn, das in solchen Beispielen vorhanden ist, wegläßt und bloß das Seyn und Nichtseyn festhält; wie sie umgekehrt das abstrakte Seyn und Nichts, das aufgefaßt werden soll, in ein bestimmtes Seyn und Nichts, in ein Daseyn, verwandelt. Erst das Daseyn enthält den realen Unterschied von Seyn und Nichts, nämlich ein Etwas und ein Anderes. - Dieser reale Unterschied schwebt der Vorstellung vor, statt des abstrakten Seyns und reinen Nichts, und ihrem nur gemeinten Unterschiede.

Wie Kant sich ausdrückt, so kommt "durch die Existenz etwas in den Kontext der gesammten Erfahrung," "wir bekommen dadurch einen Gegenstand der Wahrnehmung mehr, aber unser Begriff von dem Gegenstande wird dadurch nicht vermehrt."

Dieß heißt, wie aus dem Erläuterten hervorgeht, so viel, durch die Existenz, wesentlich darum weil Etwas bestimmte Existenz ist, ist es in dem Zusammenhang mit Anderem, und unter anderem auch mit einem Wahrnehmenden. - "Der Begriff der hundert Thaler, sagt Kant, werde nicht durch das Wahrnehmen vermehrt." Der Begriff heißt hier die vorhin bemerkten isolirt vorgestellten hundert Thaler. In dieser isolirten Weise sind sie zwar ein empirischer Inhalt, aber abgeschnitten, ohne Zusammenhang und Bestimmtheit gegen Anderes; die Form der Identität mit sich benimmt ihnen die Beziehung auf anderes und macht sie gleichgültig, ob sie wahrgenommen seyen oder nicht. Aber dieser sogenannte Begriff der hundert Thaler ist ein falscher Begriff, die Form der einfachen Beziehung auf sich gehört solchem begränzten, endlichen Inhalt nicht selbst; es ist eine ihm vom subjektiven Verstande angethane und geliehene Form; hundert Thaler sind nicht ein sich auf sich Beziehendes, sondern ein Veränderliches und Vergängliches.

Das Denken oder Vorstellen, dem nur ein bestimmtes Seyn, das Daseyn, vorschwebt, ist zu dem erwähnten Anfange der Wissenschaft zurück zu weisen, welchen Parmenides gemacht hat, der sein Vorstellen und damit auch das Vorstellen der Folgezeit zu dem reinen Gedanken, dem Seyn als solchen, geläutert und erhoben, und damit das Element der Wissenschaft erschaffen hat. - Was das Erste in der Wissenschaft ist, hat sich müssen geschichtlich als das Erste zeigen. Und das Eleatische Eine oder Seyn haben wir für das Erste des Wissens vom Gedanken anzusehen; das Wasser und dergleichen materielle Principien sollen wohl das Allgemeine seyn, aber sind als Materien nicht reine Gedanken; die Zahlen sind weder der erste einfache noch der bei sich bleibende, sondern der sich selbst ganz äußerliche Gedanke.

Die Zurückweisung vom besonderen endlichen Seyn zum Seyn als solchen in seiner ganz abstrakten Allgemeinheit ist wie als die allererste theoretische so auch sogar praktische Forderung anzusehen. Wenn nämlich ein Aufhebens von den hundert Thalern gemacht wird, daß es in meinem Vermögenszustand einen Unterschied mache, ob ich sie habe oder nicht, noch mehr ob Ich sey oder nicht, ob Anderes sey oder nicht, so kann - ohne zu erwähnen, daß es Vermögenszustände geben wird, für die solcher Besitz von hundert Thalern gleichgültig seyn wird, - daran erinnert werden, daß der Mensch sich zu dieser abstrakten Allgemeinheit in seiner Gesinnung erheben soll, in welcher es ihm in der That gleichgültig sey, ob die hundert Thaler, sie mögen ein quantitatives Verhältniß zu seinem Vermögenszustand haben, welches sie wollen, seyen oder ob sie nicht seyen, ebenso sehr als es ihm gleichgültig sey, ob er sey oder nicht, d. i. im endlichen Leben sey oder nicht (denn ein Zustand, bestimmtes Seyn ist gemeint) u.s.f. - selbst si fractus illabatur orbis, impavidum ferient ruinae , hat ein Römer gesagt, und der Christ soll sich noch mehr in dieser Gleichgültigkeit befinden.

Es ist noch die unmittelbare Verbindung anzumerken, in welcher die Erhebung über die hundert Thaler und die endlichen Dinge überhaupt mit dem ontologischen Beweise und der angeführten kantischen Kritik desselben steht. Diese Kritik hat sich durch ihr populäres Beispiel allgemein plausibel gemacht; wer weiß nicht, daß hundert wirkliche Thaler verschieden sind von hundert bloß möglichen Thalern? daß sie einen Unterschied in meinem Vermögenszustand ausmachen? Weil sich so an den hundert Thalern diese Verschiedenheit hervorthut, so ist der Begriff d. h. die Inhaltsbestimmtheit als leere Möglichkeit, und das Seyn verschieden von einander; also ist auch Gottes Begriff von seinem Seyn verschieden, und so wenig ich aus der Möglichkeit der hundert Thaler ihre Wirklichkeit herausbringen kann, eben so wenig kann ich aus dem Begriffe Gottes seine Existenz "herausklauben"; aus diesem Herausklauben aber der Existenz Gottes aus seinem Begriffe soll der ontologische Beweis bestehen. Wenn es nun allerdings seine Richtigkeit hat, daß Begriff vom Seyn verschieden ist, so ist noch mehr Gott verschieden von den hundert Thalern und den anderen endlichen Dingen. Es ist die Definition der endlichen Dinge, daß in ihnen Begriff und Seyn verschieden, Begriff und Realität, Seele und Leib, trennbar, sie damit vergänglich und sterblich sind; die abstrakte Definition Gottes ist dagegen eben dieß, daß sein Begriff und sein Seyn ungetrennt und untrennbar sind. Die wahrhafte Kritik der Kategorien und der Vernunft ist gerade diese, das Erkennen über diesen Unterschied zu verständigen und dasselbe abzuhalten, die Bestimmungen und Verhältnisse des Endlichen auf Gott anzuwenden.

Anmerkung 2.

Es ist weiter ein anderer Grund anzuführen, welcher zu dem Widerwillen gegen den Satz über Seyn und Nichts behülflich ist; dieser Grund ist, daß der Ausdruck des Resultats, das sich aus der Betrachtung des Seyns und des Nichts ergiebt, durch den Satz: Seyn und Nichts ist eins und dasselbe, unvollkommen ist. Der Accent wird vorzugsweise auf das Eins- und dasselbe-seyn gelegt, wie im Urtheile überhaupt, als in welchem das Prädikat erst es aussagt, was das Subjekt ist. Der Sinn scheint daher zu seyn, daß der Unterschied geläugnet werde, der doch zugleich im Satze unmittelbar vorkommt; denn er spricht die beiden Bestimmungen, Seyn und Nichts, aus, und enthält sie als unterschiedene. - Es kann zugleich nicht gemeint seyn, daß von ihnen abstrahirt und nur die Einheit festgehalten werden soll. Dieser Sinn gäbe sich selbst für einseitig, da das, wovon abstrahirt werden soll, gleichwohl im Satze vorhanden ist und genannt wird. - Insofern nun der Satz: Seyn und Nichts ist dasselbe, die Identität dieser Bestimmungen ausspricht, aber in der That ebenso sie beide als unterschieden enthält, widerspricht er sich in sich selbst und löst sich auf. Halten wir dieß näher fest, so ist also hier ein Satz gesetzt, der näher betrachtet, die Bewegung hat, durch sich selbst zu verschwinden. Damit aber, geschieht an ihm selbst das, was seinen eigentlichen Inhalt ausmachen soll, nämlich das Werden.

Der Satz enthält somit das Resultat, er ist dieses an sich selbst. Der Umstand aber, auf den hier aufmerksam zu machen ist, ist der Mangel, daß das Resultat nicht selbst im Satze ausgedrückt ist; es ist eine äußere Reflexion, welche es in ihm erkennt. - Es muß hierüber sogleich im Anfange diese allgemeine Bemerkung gemacht werden, daß der Satz, in Form eines Urtheils, nicht geschickt ist, spekulative Wahrheiten auszudrücken; die Bekanntschaft mit diesem Umstande wäre geeignet, viele Mißverständnisse spekulativer Wahrheiten zu beseitigen. Das Urtheil ist eine identische Beziehung zwischen Subjekt und Prädikat; es wird dabei davon abstrahirt, daß das Subjekt noch mehrere Bestimmtheiten hat als die des Prädikats, so wie davon, daß das Prädikat weiter ist als das Subjekt. Ist nun aber der Inhalt spekulativ, so ist auch das Nichtidentische des Subjekts und Prädikats wesentliches Moment, aber dieß ist im Urtheile nicht ausgedrückt. Das paradoxe und bizarre Licht, in dem Vieles der neueren Philosophie den mit dem spekulativen Denken nicht Vertrauten erscheint, fällt vielfältig in die Form des einfachen Urtheils, wenn sie für den Ausdruck spekulativer Resultate gebraucht wird.

Der Mangel wird, zum Behuf, die spekulative Wahrheit auszudrücken, zunächst so ergänzt, daß der entgegengesetzte Satz hinzugefügt wird, der Satz: Seyn und Nichts ist nicht dasselbe, der oben gleichfalls ausgesprochen ist. Allein so entsteht der weitere Mangel, daß diese Sätze unverbunden sind, somit den Inhalt nur in der Antinomie darstellen, während doch ihr Inhalt sich auf Ein und Dasselbe bezieht, und die Bestimmungen, die in den zwei Sätzen ausgedrückt sind, schlechthin vereinigt seyn sollen, - eine Vereinigung, welche dann nur als eine Unruhe zugleich unverträglicher, als eine Bewegung ausgesprochen werden kann. Das gewöhnlichste Unrecht, welches spekulativem Gehalte angethan wird, ist, ihn einseitig zu machen, d. i. den einen der Sätze nur, in die er aufgelöst werden kann, heraus zu heben. Es kann dann nicht geläugnet werden, daß dieser Satz behauptet wird; so richtig die Angabe ist, so falsch ist sie, denn wenn einmal Ein Satz aus dem Spekulativen genommen ist, so müßte wenigstens ebenso sehr der andere gleichfalls beachtet und angegeben werden. - Es ist hierbei noch das so zu sagen unglückliche Wort: Einheit besonders zu erwähnen; die Einheit bezeichnet noch mehr als die Identität eine subjektive Reflexion; sie wird vornehmlich als die Beziehung genommen, welche aus der Vergleichung, der äußerlichen Reflexion, entspringt. Insofern diese in zwei verschiedenen Gegenständen dasselbe findet, ist eine Einheit so vorhanden, daß dabei die vollkommene Gleichgültigkeit der Gegenstände selbst, die verglichen werden, gegen diese Einheit vorausgesetzt wird, so daß dieß Vergleichen und die Einheit die Gegenstände selbst nichts angeht, und ein ihnen äußerliches Thun und Bestimmen ist. Die Einheit drückt daher die ganz abstrakte Dieselbigkeit aus, und lautet um so härter und auffallender, je mehr die, von denen sie ausgesprochen wird, sich schlechthin unterschieden zeigen. Für Einheit würde daher insofern besser nur Ungetrenntheit und Untrennbarkeit gesagt; aber damit ist das Affirmative der Beziehung des Ganzen nicht ausgedrückt.

So ist das ganze, wahre Resultat, das sich hier ergeben hat, das Werden, welches nicht bloß die einseitige oder abstrakte Einheit des Seyns und Nichts ist. Sondern es besteht in dieser Bewegung, daß das reine Seyn unmittelbar und einfach ist, daß es darum eben so sehr das reine Nichts ist, daß der Unterschied derselben ist, aber eben so sehr sich aufhebt und nicht ist. Das Resultat behauptet also den Unterschied des Seyns und des Nichts eben so sehr, aber als einen nur gemeinten.

Man meint, das Seyn sey vielmehr das schlechthin Andere, als das Nichts ist, und es ist nichts klarer, als ihr absoluter Unterschied, und es scheint nichts leichter, als ihn angeben zu können. Es ist aber eben so leicht, sich zu überzeugen, daß dieß unmöglich, daß er unsagbar ist. Die, welche auf dem Unterschiede von Seyn und Nichts beharren wollen, mögen sich auffordern, anzugeben, worin er besteht. Hätte Seyn und Nichts irgend eine Bestimmtheit, wodurch sie sich unterschieden, so wären sie, wie erinnert worden, bestimmtes Seyn und bestimmtes Nichts, nicht das reine Seyn und das reine Nichts, wie sie es hier noch sind. Ihr Unterschied ist daher völlig leer, jedes der beiden ist auf gleiche Weise das Unbestimmte; er besteht daher nicht an ihnen selbst, sondern nur in einem Dritten, im Meinen. Aber das Meinen ist eine Form des Subjektiven, das nicht in diese Reihe der Darstellung gehört. Das Dritte aber, worin Seyn und Nichts ihr Bestehen haben, muß auch hier vorkommen; und es ist vorgekommen, es ist das Werden. In ihm sind sie als unterschiedene; Werden ist nur, insofern sie unterschieden sind. Dieß Dritte ist ein Anderes als sie; - sie bestehen nur in einem Anderen, dieß heißt gleichfalls, sie bestehen nicht für sich. Das Werden ist das Bestehen des Seyns so sehr als des Nichtseyns; oder ihr Bestehen ist nur ihr Seyn in Einem; gerade dieß ihr Bestehen ist es, was ihren Unterschied eben so sehr aufhebt.

Die Aufforderung, den Unterschied von Seyn und Nichts anzugeben, schließt auch die in sich, zu sagen, was denn Seyn und was Nichts ist. Die sich dagegen sträuben, das eine wie das andere nur als ein Uebergehen in einander zu erkennen, und vom Seyn und vom Nichts dieß oder das behaupten, mögen angeben, von was sie sprechen, d. i. eine Definition vom Seyn und Nichts aufstellen, und aufzeigen, daß sie richtig ist. Ohne dieser ersten Forderung der alten Wissenschaft genügt zu haben, deren logische Regeln sie sonst gelten lassen und anwenden, sind alle jene Behauptungen über das Seyn und Nichts nur Versicherungen, wissenschaftliche Ungültigkeiten. Wenn man sonst gesagt hat, die Existenz, insofern man diese zunächst für gleichbedeutend mit Seyn hält, sey die Ergänzung zur Möglichkeit, so ist damit eine andere Bestimmung, die Möglichkeit, vorausgesetzt, das Seyn nicht in seiner Unmittelbarkeit, sogar als nicht selbstständig, als bedingt ausgesprochen. Für das Seyn, welches vermittelt ist, werden wir den Ausdruck: Existenz, aufbehalten. Aber man stellt sich wohl das Seyn vor - etwa unter dem Bilde des reinen Lichts, als die Klarheit ungetrübten Sehens, das Nichts aber als die reine Nacht, und knüpft ihren Unterschied an diese wohlbekannte sinnliche Verschiedenheit. In der That aber, wenn man auch dieß Sehen sich genauer vorstellt, so kann man leicht gewahr werden, daß man in der absoluten Klarheit so viel und so wenig sieht, als in der absoluten Finsterniß, daß das eine Sehen so gut als das andere, reines Sehen, Sehen von Nichts ist. Reines Licht und reine Finsterniß sind zwei Leeren, welche dasselbe sind. Erst in dem bestimmten Lichte - und das Licht wird durch die Finsterniß bestimmt, - also im getrübten Lichte, ebenso erst in der bestimmten Finsterniß, - und die Finsterniß wird durch das Licht bestimmt, - in der erhellten Finsterniß kann etwas unterschieden werden, weil erst das getrübte Licht und die erhellte Finsterniß den Unterschied an ihnen selbst haben, und damit bestimmtes Seyn, Daseyn, sind.

Anmerkung 3.

Die Einheit, deren Momente, Seyn und Nichts, als untrennbare sind, ist von ihnen selbst zugleich verschieden, so ein Drittes gegen sie, welches in seiner eigenthümlichsten Form das Werden ist. Uebergehen ist dasselbe als Werden, nur daß in jenem die beiden, von deren Einem zum anderen übergegangen wird, mehr als außereinander ruhend und das Uebergehen als zwischen ihnen geschehend vorgestellt wird. Wo und Wie nun vom Seyn oder Nichts die Rede wird, muß dieses Dritte vorhanden seyn; denn jene bestehen nicht für sich, sondern sind nur im Werden, in diesem Dritten. Aber dieses Dritte hat vielfache empirische Gestalten, welche von der Abstraktion bei Seite gestellt oder vernachläßigt werden, um jene ihre Produkte, das Seyn und das Nichts, jedes für sich festzuhalten und sie gegen das Uebergehen geschützt zu zeigen. Gegen solches einfaches Verhalten der Abstraktion ist ebenso einfach nur an die empirische Existenz zu erinnern, in der jene Abstraktion selbst nur Etwas ist, ein Daseyn hat. Oder es sind sonst Reflexionsformen, durch welche die Trennung der Untrennbaren fixirt werden soll. An solcher Bestimmung ist an und für sich das Gegentheil ihrer selbst vorhanden, und ohne auf die Natur der Sache zurückzugehen und an diese zu appelliren, ist jene Reflexionsbestimmung an ihr selbst dadurch zu konfondiren, daß sie genommen wird, wie sie sich giebt, und ihr Anderes an ihr selbst aufgezeigt wird. Es würde eine vergebliche Mühe seyn, alle Wendungen und Einfälle der Reflexion und ihres Raisonnements gleichsam einfangen zu wollen, um ihr die Auswege und Absprünge, womit sie sich ihren Widerspruch gegen sich selbst verdeckt, zu benehmen und unmöglich zu machen. Darum enthalte ich mich auch, gegen vielfache sich so nennende Einwürfe und Widerlegungen, welche dagegen, daß weder Seyn noch Nichts etwas Wahrhaftes, sondern nur das Werden ihre Wahrheit ist, aufgebracht worden sind, Rücksicht zu nehmen; die Gedanken-Bildung, die dazu gehört, die Nichtigkeit jener Widerlegungen einzusehen oder vielmehr solche Einfälle sich selbst zu vertreiben, wird nur durch die kritische Erkenntniß der Verstandesformen bewirkt; aber die, welche am ergiebigsten an dergleichen Einwürfen sind, fallen sogleich über die ersten Sätze mit ihren Reflexionen her, ohne durch das weitere Studium der Logik sich zum Bewußtseyn über die Natur dieser kruden Reflexionen zu verhelfen oder verholfen zu haben.

Es sollen einige der Erscheinungen betrachtet werden, die sich daran ergeben, wenn das Seyn und das Nichts von einander isolirt, und Eins außer dem Bereiche des Anderen gesetzt wird, so daß hiermit das Uebergehen negirt ist.

Parmenides hielt das Seyn fest und war am konsequentesten, indem er zugleich vom Nichts sagte, daß es gar nicht ist; nur das Seyn ist. Das Seyn so ganz für sich ist das Unbestimmte, hat also keine Beziehung auf Anderes; es scheint daher, daß von diesem Anfang aus nicht weiter fortgegangen werden könne, nämlich aus ihm selbst, und ein Fortgang nur dadurch geschehen könne, daß von Außen etwas Fremdes daran geknüpft würde. Der Fortgang, daß das Seyn dasselbe ist als das Nichts, erscheint somit als ein zweiter, absoluter Anfang, - ein Uebergehen, das für sich ist, und äußerlich zu dem Seyn hinzuträte. Seyn wäre überhaupt nicht der absolute Anfang, wenn es eine Bestimmtheit hätte; alsdann hänge es von einem Andern ab, und wäre nicht unmittelbar, nicht der Anfang. Ist es aber unbestimmt, und damit wahrer Anfang, so hat es auch nichts, wodurch es sich zu einem anderen überleitet, es ist zugleich das Ende. Es kann ebenso wenig etwas aus demselben hervorbrechen, als etwas in dasselbe einbrechen kann; bei Parmenides wie bei Spinoza soll von dem Seyn oder der absoluten Substanz nicht fortgegangen werden zu dem Negativen, Endlichen. Wird nun dennoch fortgegangen, was wie bemerkt, von dem beziehungs- hiermit fortgangslosen Seyn aus nur auf äußerliche Weise geschehen kann, so ist dieser Fortgang ein zweiter, neuer Anfang. So ist Fichte's absolutester, unbedingter Grundsatz: A = A Setzen; der zweite ist Entgegensetzen; dieser soll zum Theil bedingt, zum Theil unbedingt (somit der Widerspruch in sich) seyn. Es ist dieß ein Fortgehen der äußern Reflexion, welches ebensowohl das, womit es als einem Absoluten anfängt, wieder verneint, - das Entgegensetzen ist die Negation der ersten Identität, - als es sein zweites Unbedingtes sogleich ausdrücklich zugleich zu einem Bedingten macht. Wenn aber überhaupt eine Berechtigung wäre, fortzugehen, d. i. den ersten Anfang aufzuheben, so müßte es in diesem ersten selbst liegen, daß ein Anderes sich darauf beziehen könnte; es müßte also ein Bestimmtes seyn. Allein für ein solches giebt sich das Seyn oder auch die absolute Substanz nicht aus; im Gegentheil. Es ist das Unmittelbare, das noch schlechthin Unbestimmte.

Die beredtesten, vielleicht vergessenen Schilderungen über die Unmöglichkeit, von einem Abstrakten zu einem Ferneren und zu einer Vereinigung beider zu kommen, macht Jacobi im Interesse seiner Polemik gegen die kantische Synthesis des Selbstbewußtseyns a priori, in seiner Abh. über das Unternehmen des Kriticismus, die Vernunft zu Verstande zu bringen (Jac. Werke III. Bd.). Er stellt (S. 113) die Aufgabe so, daß in einem Reinen, sey es des Bewußtseyns, des Raums oder der Zeit, das Entstehen oder Hervorbringen einer Synthesis aufgezeigt werde. "Der Raum sey Eines, die Zeit sey Eines, das Bewußtseyn sey Eines; - sagt nun an, wie sich eines von diesen drei Einen in ihm selbst rein vermannigfaltiget; - jedes ist nur Eines und kein Anderes; - eine Einerleiheit, eine Der- Die- Das- Selbigkeit! ohne Derheit, Dieheit, Dasheit; denn diese schlummern, mit den Der, Die, Das noch im unendlichen = 0 des Unbestimmten, woraus alles und jedes Bestimmte auch erst hervorgehen soll! Was bringt in jene, drei Unendlichkeiten, Endlichkeit; was befruchtet Raum und Zeit a priori mit Zahl und Maß, und verwandelt sie in ein reines Mannigfaltiges; was bringt die reine Spontaneität (Ich) zur Oscillation? Wie kommt sein reiner Vokal zum Mitlauter, oder vielmehr wie setzt sein lautloses ununterbrochenes Blasen, sich selbst unterbrechend, ab, um wenigstens eine Art von Selbstlaut, einen Accent zu gewinnen?" - Man sieht, Jacobi hat sehr bestimmt das Unwesen der Abstraktion, es sey nun sogenannter absoluter d. i. nur abstrakter Raum, oder ebensolche Zeit, oder ebensolches reines Bewußtseyn, Ich, erkannt; er beharrt darin zu dem Behuf, die Unmöglichkeit eines Fortgangs zu Anderem, der Bedingung einer Synthesis, und zur Synthesis selbst zu behaupten. Die Synthesis, welche das Interesse ausmacht, muß nicht als eine Verknüpfung von äußerlich schon vorhandenen Bestimmungen genommen werden, - Theils ist es selbst um die Erzeugung eines Zweiten zu einem Ersten, eines Bestimmten zum unbestimmten Anfänglichen zu thun; Theils aber um die immanente Synthesis, Synthesis a priori, - an und für sich seyende Einheit des Unterschiedenen. Werden ist diese immanente Synthesis des Seyns und Nichts; aber weil der Synthesis der Sinn von einem äußerlichen Zusammenbringen äußerlich gegeneinander Vorhandener am nächsten liegt, ist mit Recht der Name Synthesis, synthetische Einheit außer Gebrauch gesetzt worden. - Jacobi fragt, wie kommt der reine Vokal des Ich zum Mitlauter, was bringt Bestimmtheit in die Unbestimmtheit - das was? wäre leicht beantwortet, und von Kant ist diese Frage auf seine Weise beantwortet worden; aber die Frage nach dem Wie? heißt: auf welche Art und Weise, nach welchem Verhältniß und dergleichen, und verlangt so die Angabe einer besondern Kategorie; aber von Art und Weise, Verstandes-Kategorien kann hierbei nicht die Rede seyn. Die Frage nach dem wie? gehört selbst zu den übeln Manieren der Reflexion, welche nach der Begreiflichkeit frägt, aber dabei ihre festen Kategorien voraussetzt, und damit zum Voraus gegen die Beantwortung dessen, nach was sie fragt, sich gewaffnet weiß. Den höheren Sinn einer Frage nach der Nothwendigkeit der Synthese hat sie bei Jacobi auch nicht, denn er bleibt, wie gesagt, fest in den Abstraktionen beharren, für die Behauptung der Unmöglichkeit der Synthese. Insbesondere anschaulich beschreibt er (S. 147) die Procedur zur Abstraktion des Raumes zu gelangen. "Ich muß für so lange rein zu vergessen suchen, daß ich je irgend etwas sah, hörte, rührte und berührte, mich selbst ausdrücklich nicht ausgenommen. Rein, rein, rein vergessen muß ich alle Bewegung, und mir gerade dieß Vergessen, weil es das schwerste ist, am angelegentlichsten seyn lassen. Alles überhaupt muß ich, so wie ich es weggedacht habe, auch ganz und vollkommen weggeschafft seyn lassen, und gar nichts übrig behalten, als die mit Gewalt stehen gebliebene Anschauung allein des unendlichen unveränderlichen Raums. Ich darf mich daher auch nicht selbst als etwas von ihm Unterschiedenes und gleichwohl mit ihm Verbundenes, wieder in ihn hineindenken; ich darf mich nicht von ihm bloß umgeben und durchdringen lassen; sondern ich muß ganz übergehen in ihn, Eins mit ihm werden, mich in ihn verwandeln; ich muß von mir selbst nichts übrig lassen, als diese meine Anschauung selbst, um sie als eine wahrhaft selbstständige, unabhängige, Einig- und Alleinige Vorstellung zu betrachten."

Bei dieser ganz abstrakten Reinheit der Kontinuität, d. i. Unbestimmtheit und Leerheit des Vorstellens ist es gleichgültig, diese Abstraktion Raum zu nennen, oder reines Anschauen, reines Denken; - es ist alles dasselbe, was der Inder, wenn er äußerlich bewegungslos, und ebenso in Empfindung, Vorstellung, Phantasie, Begierde u.s.f. regungslos jahrelang nur auf die Spitze seiner Nase sieht, nur Om, Om, Om innerlich in sich, oder gar Nichts spricht, - Brahma nennt. Dieses dumpfe, leere Bewußtseyn ist, als Bewußtseyn aufgefaßt, - das Seyn.

In diesem Leeren, sagt nun Jacobi weiter, widerfahre ihm das Gegentheil von dem, was kantischer Versicherung gemäß, ihm widerfahren sollte; er finde sich nicht als ein Vieles und Mannigfaltiges, vielmehr als Eines ohne alle Vielheit und Mannigfaltigkeit; ja, "ich bin die Unmöglichkeit selbst, bin die Vernichtung alles Mannigfaltigen und Vielen, - kann aus meinem reinen, schlechterdings einfachen, unveränderlichen Wesen auch nicht das Mindeste wieder herstellen oder in mich hinein gespenstern; - so offenbart sich in dieser Reinheit, alles Außer- und Nebeneinanderseyn, alle hierauf beruhende Mannigfaltigkeit und Vielheit, als ein rein Unmögliches."

Diese Unmöglichkeit heißt nichts anders als die Tautologie, ich halte an der abstrakten Einheit fest und schließe alle Vielheit und Mannigfaltigkeit aus, halte mich im Unterschiedslosen und Unbestimmten, und sehe weg von allem Unterschiedenen und Bestimmten. Die kantische Synthesis a priori des Selbstbewußtseyns, das ist, die Thätigkeit dieser Einheit, sich zu dirimiren und in dieser Diremtion sich selbst zu erhalten, verdünnt sich Jacobi zu derselben Abstraktion. Jene "Synthesis an sich", das "ursprüngliche Urtheilen," macht er einseitig zu "der Kopula an sich; - ein Ist, Ist, Ist, ohne Anfang und Ende und ohne Was, Wer und Welche; dieses ins Unendliche fortgehende Wiederholen der Wiederholung ist die alleinige Geschäftigkeit, Funktion und Produktion der allerreinsten Synthesis; sie selbst ist das bloße, reine, absolute Wiederholen selbst." Oder in der That, da kein Absatz, d. i. keine Negation, Unterscheiden darin ist, so ist sie nicht ein Wiederholen, sondern nur das ununterschiedene einfache Seyn. - Aber ist dieß denn noch Synthesis, wenn Jacobi gerade das wegläßt, wodurch die Einheit synthetische Einheit ist?

Zunächst, wenn Jacobi sich so in dem absoluten d. h. abstrakten Raum, Zeit, auch Bewußtseyn festsetzt, ist zu sagen, daß er sich auf diese Weise in etwas empirisch-Falsches versetzt und festhält; es giebt d. h. empirisch vorhanden ist kein Raum und Zeit, die ein unbegrenztes Räumliches und Zeitliches wären, nicht in ihrer Kontinuität von mannigfaltig begrenztem Daseyn und Veränderung erfüllt wären, so daß diese Grenzen und Veränderungen ungetrennt und untrennbar der Räumlichkeit und Zeitlichkeit angehören; ebenso ist das Bewußtseyn mit bestimmtem Empfinden, Vorstellen, Begehren u.s.f. erfüllt; es existirt ungetrennt von irgend einem besonderen Inhalt. - Das empirische Uebergehen versteht sich ohnehin von selbst; das Bewußtseyn kann sich wohl den leeren Raum, leere Zeit und das leere Bewußtseyn selbst, oder das reine Seyn, zum Gegenstand und Inhalt machen; aber es bleibt nicht dabei, sondern geht nicht nur, sondern drängt sich aus solcher Leerheit hinaus zu einem besseren, d. i. auf irgend eine Weise konkreteren Inhalt, und so schlecht ein Inhalt sonst sey, so ist er insofern besser und wahrer; eben ein solcher Inhalt ist ein synthetischer überhaupt; synthetisch in allgemeinerem Sinne genommen. So bekommt Parmenides mit dem Scheine und der Meinung, dem Gegentheil des Seyns und der Wahrheit, zu thun; so Spinoza mit den Attributen, den Modis, der Ausdehnung, Bewegung, dem Verstande, Willen u.s.f. Die Synthesis enthält und zeigt die Unwahrheit jener Abstraktionen, in ihr sind sie in Einheit mit ihrem Anderen, also nicht als für sich bestehende, nicht als absolute, sondern schlechthin als relative.

Das Aufzeigen der empirischen Nichtigkeit des leeren Raums u.s.f. aber ist es nicht, um das es zu thun ist. Das Bewußtseyn kann sich abstrahirend allerdings auch mit jenem Unbestimmten erfüllen, und die festgehaltenen Abstraktionen sind die Gedanken von reinem Raum, Zeit, reinen Bewußtseyn, reinem Seyn. Der Gedanke des reinen Raums u.s.f. d. i. der reine Raum u.s.f. an ihm selbst soll als nichtig aufgezeigt werden, d. i. daß er als solcher schon sein Gegentheil, daß an ihm selbst schon sein Gegentheil in ihn eingedrungen, er schon für sich das Herausgegangenseyn aus sich selbst, Bestimmtheit, sey.

Dieß ergiebt sich aber unmittelbar an ihnen. Sie sind, was Jacobi reichlich beschreibt, Resultate der Abstraktion, sind ausdrücklich als Unbestimmte bestimmt, was - um zu seiner einfachsten Form zurückzugehen, das Seyn ist. Eben diese Unbestimmtheit ist aber das, was die Bestimmtheit desselben ausmacht; denn die Unbestimmtheit ist der Bestimmtheit entgegengesetzt; sie ist somit als Entgegengesetztes selbst das Bestimmte, oder Negative, und zwar das reine, ganz abstrakt Negative. Diese Unbestimmtheit oder abstrakte Negation, welche so das Seyn an ihm selbst hat, ist es, was die äußere wie die innere Reflexion ausspricht, indem sie es dem Nichts gleich setzt, es für ein leeres Gedankending, für Nichts erklärt. - Oder kann man sich ausdrücken, weil das Seyn das Bestimmungslose ist, ist es nicht die (affirmative) Bestimmtheit, die es ist, nicht Seyn, sondern Nichts.

In der reinen Reflexion des Anfangs, wie er in dieser Logik mit dem Seyn als solchem gemacht wird, ist der Uebergang noch verborgen; weil das Seyn nur als unmittelbar gesetzt ist, bricht das Nichts an ihm nur unmittelbar hervor. Aber alle folgenden Bestimmungen, wie gleich das Daseyn, sind konkreter; es ist an diesem das schon gesetzt, was den Widerspruch jener Abstraktionen und daher ihr Uebergehen enthält und hervorbringt. Beim Seyn als jenem Einfachen, Unmittelbaren wird die Erinnerung, daß es Resultat der vollkommenen Abstraktion, also schon von daher abstrakte Negativität, Nichts, ist, hinter der Wissenschaft zurückgelassen, welchem innerhalb ihrer selbst, ausdrücklich vom Wesen aus, jene einseitige Unmittelbarkeit als eine Vermittelte darstellen wird, wo das Seyn als Existenz und das Vermittelnde dieses Seyns, der Grund, gesetzt ist.

Mit jener Erinnerung läßt sich der Uebergang von Seyn in Nichts als etwas selbst leichtes und triviales so vorstellen oder auch, wie man es nennt, erklären und begreiflich machen, daß Freilich das Seyn, welches zum Anfang der Wissenschaft gemacht worden, Nichts sey, denn man könne von Allem abstrahiren, und wenn von Allem abstrahirt worden, so bleibe Nichts übrig. Aber, kann man fortfahren, somit sey der Anfang nicht ein Affirmatives, nicht Seyn, sondern eben Nichts, und Nichts sey dann auch das Ende, wenigstens sosehr als das unmittelbare Seyn und selbst noch vielmehr. Das Kürzeste ist solches Raisonniren gewähren zu lassen und zuzusehen, wie denn die Resultate beschaffen sind, auf welche es pocht. Daß hiernach das Nichts das Resultat jenes Raisonnements wäre, und nun der Anfang mit Nichts (wie in chinesischer Philosophie) gemacht werden sollte, so wäre darum nicht die Hand umzukehren, denn ehe man sie umkehrte, hätte sich ebenso sehr dieß Nichts in Seyn verkehrt, (s. oben: B. Nichts). Aber ferner wenn jene Abstraktion von Allem, welches Alles denn doch Seyendes ist, vorausgesetzt wäre, so ist sie genauer zu nehmen; das Resultat der Abstraktion von allem Seyenden ist zunächst abstraktes Seyn, Seyn überhaupt; wie im kosmologischen Beweise vom Daseyn Gottes aus dem zufälligen Seyn der Welt, über welches sich darin erhoben wird, noch das Seyn mit hinaufgebracht, das Seyn zum unendlichen Seyn bestimmt wird. Es kann aber allerdings auch von diesem reinen Seyn abstrahirt, das Seyn noch zu dem Allem, wovon bereits abstrahirt worden, geschlagen werden; dann bleibt Nichts. Man kann nun, wenn man das Denken des Nichts, d.i. sein Umschlagen in Seyn vergessen will oder nichts davon wüßte, im Style jenes Könnens fortfahren; es kann nämlich (Gottlob!) auch vom Nichts abstrahirt werden (wie denn auch die Schöpfung der Welt eine Abstraktion vom Nichts ist) und dann bleibt nicht Nichts, denn eben von diesem wird abstrahirt, sondern man ist so wieder im Seyn angekommen. - dieß Können giebt ein äußerliches Spiel des Abstrahirens, wobei das Abstrahiren selbst nur das einseitige Thun des Negativen ist. Zunächst liegt in diesem Können selbst, daß ihm das Seyn so gleichgültig ist als das Nichts, und daß so sehr jedes von Beiden verschwindet, ebenso sehr jedes auch entsteht; aber ebenso gleichgültig ist es, ob vom Thun des Nichts, oder dem Nichts ausgegangen wird; das Thun des Nichts, d. i. das bloße Abstrahiren ist nicht mehr noch weniger etwas Wahrhaftes als das bloße Nichts.

Die Dialektik, nach welcher Plato das Eine im Parmenides behandelt, ist gleichfalls mehr für eine Dialektik der äußern Reflexion zu achten. Das Seyn und das Eine sind beides Eleatische Formen, die Dasselbe sind. Aber sie sind auch zu unterscheiden, so nimmt sie Plato in jenem Dialoge. Nachdem er von dem Einen die mancherlei Bestimmungen von Ganzen und Theilen, in sich selbst, in einem anderen seyn u.s.f. von Figur, Zeit u.s.f. entfernt, so ist das Resultat, daß dem Einen das Seyn nicht zukomme, denn anders komme einem Etwas das Seyn nicht zu, als nach einer jener Weisen (p. 141 e. Vol. III. ed. Steph.). Hierauf behandelt Plato den Satz: das Eine ist; und es ist bei ihm nachzusehen, wie von diesem Satze aus der Uebergang zu dem Nichtseyn des Einen bewerkstelligt wird; es geschieht durch die Vergleichung der beiden Bestimmungen des vorausgesetzten Satzes: das Eine ist; er enthält das Eine und das Seyn; und das Eine ist enthält mehr, als wenn man nur sagt: das Eine. Darin daß sie verschieden sind, wird das Moment der Negation, das der Satz enthält, aufgezeigt. Es erhellt, daß dieser Weg eine Voraussetzung hat, und eine äußere Reflexion ist.

Wie hier das Eine mit dem Seyn in Verbindung gesetzt ist, wird das Seyn, welches abstrakt für sich festgehalten werden soll am einfachsten, ohne sich in das Denken einzulassen, in einer Verbindung aufgezeigt, die das Gegentheil dessen enthält, was behauptet werden soll. Das Seyn, wie es unmittelbar ist, genommen gehört einem Subjekte an, ist ein ausgesprochenes, hat ein empirisches Daseyn überhaupt, und steht damit im Boden der Schranke und des Negativen. In welchen Ausdrücken oder Wendungen der Verstand sich fasse, wenn er sich gegen die Einheit des Seyns und Nichts sträubt, und sich auf das, was unmittelbar vorhanden sey, beruft, wird er eben in dieser Erfahrung selbst nichts als bestimmtes Seyn, Seyn mit einer Schranke oder Negation, - jene Einheit finden, die er verwirft. Die Behauptung des unmittelbaren Seyns reducirt sich so auf eine empirische Existenz, deren Aufzeigen sie nicht verwerfen kann, weil es die Unmittelbarkeit außerhalb des Denkens ist, an die sie sich halten will.

Dasselbe ist der Fall mit dem Nichts, nur auf entgegengesetzte Weise, und diese Reflexion ist bekannt und oft genug über dasselbe gemacht worden. Das Nichts zeigt sich in seiner Unmittelbarkeit genommen als seyend; denn seiner Natur nach ist es dasselbe als das Seyn. Das Nichts wird gedacht, vorgestellt, es wird von ihm gesprochen; es ist also; das Nichts hat an dem Denken, Vorstellen, Sprechen, u.s.f. sein Seyn. Dieß Seyn ist aber ferner, auch von ihm unterschieden; es wird daher gesagt, daß das Nichts zwar im Denken, Vorstellen ist, aber daß darum nicht es ist, nicht ihm als solchem das Seyn zukomme, daß nur Denken oder Vorstellen dieses Seyn ist. Bei diesem Unterscheiden ist eben so sehr nicht zu läugnen, daß das Nichts in Beziehung auf ein Seyn steht; aber in der Beziehung, ob sie gleich auch den Unterschied enthält, ist eine Einheit mit dem Seyn vorhanden. Auf weiche Weise das Nichts ausgesprochen oder aufgezeigt werde, zeigt es sich in Verbindung oder wenn man will Berührung mit einem Seyn, ungetrennt von einem Seyn, eben in einem Daseyn.

Indem aber so das Nichts in einem Daseyn aufgezeigt wird, pflegt noch dieser Unterschied desselben vom Seyn vorzuschweben, daß das Daseyn des Nichts durchaus nichts ihm selbst zukommendes sey, daß es nicht das Seyn für sich selbst an ihm habe, es nicht das Seyn als solches sey; das Nichts sey nur Abwesenheit des Seyns, die Finsterniß so nur Abwesenheit des Lichts, die Kälte nur Abwesenheit der Wärme u.s.f. Finsterniß habe nur Bedeutung in Beziehung auf das Auge, in äußerer Vergleichung mit dem Positiven, dem Lichte, ebenso Kälte sey nur Etwas in unserer Empfindung, Licht, Wärme, wie Seyn, hingegen seyen für sich das Objektive, Reale, Wirksame, von schlechthin anderer Qualität und Würde, als jene Negativen, als Nichts. Man kann es häufig als eine sehr wichtige Reflexion und bedeutende Erkenntniß aufgeführt finden, daß Finsterniß nur Abwesenheit des Lichts, Kälte nur Abwesenheit der Wärme sey. Ueber diese scharfsinnige Reflexion kann in diesem Felde von empirischen Gegenständen empirisch bemerkt werden, daß die Finsterniß sich im Lichte allerdings wirksam zeigt, indem sie dasselbe zur Farbe bestimmt und ihm selbst dadurch erst Sichtbarkeit ertheilt, indem wie früher gesagt, im reinen Lichte ebenso wenig gesehen wird, als in der reinen Finsterniß. Die Sichtbarkeit ist aber Wirksamkeit im Auge, an der jenes Negative ebenso viel Antheil hat, als das für das Reale, Positive geltende Licht; ebenso giebt sich die Kälte dem Wasser, unserer Empfindung u.s.f. genugsam zu erkennen, und wenn wir ihr sogenannte objektive Realität absprechen, so ist damit durchaus nichts gegen sie gewonnen. Aber ferner wäre zu rügen, daß hier gleichfalls, wie oben, von einem Negativen von bestimmtem Inhalte gesprochen wird, nicht beim Nichts selbst stehen geblieben wird, dem das Seyn an leerer Abstraktion nicht nachsteht, noch etwas voraus hat. - Allein Kälte, Finsterniß und dergleichen bestimmte Negationen sind sogleich für sich zu nehmen, und es ist zu sehen, was damit in Rücksicht ihrer allgemeinen Bestimmung, nach der sie hierher gebracht werden, gesetzt ist. Sie sollen nicht das Nichts überhaupt, sondern das Nichts vom Licht, Wärme u.s.f. von etwas Bestimmten, einem Inhalte seyn; so sind sie bestimmte, inhaltige Nichts, wenn man so sagen kann. Aber eine Bestimmtheit ist, wie noch weiter hin vorkommt, selbst eine Negation; so sind sie negative Nichts; aber ein negatives Nichts ist etwas Affirmatives. Das Umschlagen des Nichts durch seine Bestimmtheit (die vorhin als ein Daseyn im Subjekte, oder in sonst was es sey, erschien) in ein Affirmatives, erscheint dem Bewußtseyn, das in der Verstandes-Abstraktion feststeht, als das paradoxeste, so einfach die Einsicht ist, oder auch wegen ihrer Einfachheit selbst erscheint die Einsicht, daß die Negation der Negation Positives ist, als etwas Triviales, auf welches der stolze Verstand daher nicht zu achten brauche, obgleich die Sache ihre Richtigkeit habe, - und sie hat nicht nur diese Richtigkeit, sondern um der Allgemeinheit solcher Bestimmungen willen ihre unendliche Ausdehnung und allgemeine Anwendung, so daß wohl darauf zu achten wäre.

Noch kann über die Bestimmung des Uebergangs von Seyn und Nichts in einander bemerkt werden, daß derselbe eben so ohne weitere Reflexionsbestimmung aufzufassen ist. Er ist unmittelbar und ganz abstrakt, um der Abstraktion der übergehenden Momente willen, d. i. indem an diesen Momenten noch nicht die Bestimmtheit des anderen gesetzt ist, vermittelst dessen sie übergingen; das Nichts ist am Seyn noch nicht gesetzt, ob zwar Seyn wesentlich Nichts ist, und umgekehrt. Es ist daher unzulässig, weiters bestimmte Vermittelungen hier anzuwenden, und Seyn und Nichts in irgend einem Verhältnisse zu fassen, - jenes Uebergehen ist noch kein Verhältniß. Es ist also unstatthaft zu sagen: Das Nichts ist der Grund vom Seyn; oder Seyn ist der Grund von Nichts; - das Nichts Ursache vom Seyn u.s.f.; oder es kann nur unter der Bedingung in das Nichts übergegangen werden, daß etwas ist, oder in das Seyn nur unter der Bedingung des Nichtseyns. Die Art der Beziehung kann nicht weiter bestimmt seyn, ohne daß zugleich die bezogenen Seiten weiter bestimmt würden. Der Zusammenhang von Grund und Folge u.s.f. hat nicht mehr das bloße Seyn und Nichts zu den Seiten, die er verbindet, sondern ausdrücklich Seyn, das Grund ist, und etwas, das zwar nur ein gesetztes, nicht Selbstständiges sey, das aber nicht das abstrakte Nichts ist.

Anmerkung 4.

Es geht aus dem Bisherigen hervor, welche Bewandniß es mit der Dialektik gegen den Anfang der Welt, auch deren Untergang hat, wodurch die Ewigkeit der Materie erwiesen werden sollte, d. i. mit der Dialektik gegen das Werden, Entstehen oder Vergehen überhaupt. - Die Kantische Antinomie über die Endlichkeit oder Unendlichkeit der Welt in Raum und Zeit wird unten bei dem Begriffe der quantitativen Unendlichkeit näher betrachtet werden. - Jene einfache gewöhnliche Dialektik beruht auf dem Festhalten des Gegensatzes von Seyn und Nichts. Es wird auf folgende Art bewiesen, daß kein Anfang der Welt oder von Etwas möglich sey: Es kann nichts anfangen, weder insofern etwas ist, noch insofern es nicht ist; denn insofern es ist, fängt es nicht erst an; insofern es aber nicht ist, fängt es auch nicht an. -

Wenn die Welt oder Etwas angefangen haben sollte, so hätte sie im Nichts angefangen, aber im Nichts oder das Nichts ist nicht Anfang; denn Anfang schließt ein Seyn in sich, aber das Nichts enthält kein Seyn. Nichts ist nur Nichts. In einem Grunde, Ursache u.s.w. wenn das Nichts so bestimmt wird, ist eine Affirmation, Seyn enthalten. - Aus demselben Grunde kann auch Etwas nicht aufhören. Denn so müßte das Seyn das Nichts enthalten, Seyn aber ist nur Seyn, nicht das Gegentheil seiner selbst.

Es erhellt, daß hierin gegen das Werden, oder Anfangen und Aufhören, diese Einheit des Seyns und Nichts, nichts vorgebracht wird, als sie assertorisch zu läugnen, und dem Seyn und Nichts, jedem getrennt von dem andern, Wahrheit zuzuschreiben. - Diese Dialektik ist jedoch wenigstens konsequenter als das reflektirende Vorstellen. Ihm gilt es für vollkommene Wahrheit, daß Seyn und Nichts nur getrennt seyen; auf der anderen Seite aber läßt es ein Anfangen und Aufhören als eben so wahrhafte Bestimmungen gelten; in diesen aber nimmt es die Ungetrenntheit des Seyns und Nichts faktisch an.

Bei der Voraussetzung der absoluten Geschiedenheit des Seyns vom Nichts, ist - was man so oft hört - der Anfang oder das Werden allerdings etwas Unbegreifliches; denn man macht eine Voraussetzung, welche den Anfang oder das Werden aufhebt, das man doch wieder zugibt, und dieser Widerspruch, den man selbst setzt und dessen Auflösung unmöglich macht, heißt das Unbegreifliche.

Das Angeführte ist auch dieselbe Dialektik, die der Verstand gegen den Begriff braucht, den die höhere Analysis von den unendlich-kleinen Größen giebt. Von diesem Begriffe wird weiter unten ausführlicher gehandelt. - Diese Größen sind als solche, bestimmt worden, die in ihrem Verschwinden sind, nicht vor ihrem Verschwinden, denn als dann sind sie endliche Größen; - nicht nach ihrem Verschwinden, denn alsdann sind sie nichts. Gegen diesen reinen Begriff ist eingewendet und immer wiederholt worden, daß solche Größen entweder Etwas seyen, oder Nichts; daß es keinen Mittelzustand (Zustand ist hier ein unpassender, barbarischer Ausdruck) zwischen Seyn und Nichtseyn gebe. - Es ist hierbei gleichfalls die absolute Trennung des Seyns und Nichts angenommen. Dagegen ist aber gezeigt worden, daß Seyn und Nichts in der That dasselbe sind, oder um in jener Sprache zu sprechen, daß es gar nichts giebt, das nicht ein Mittelzustand zwischen Seyn und Nichts ist. Die Mathematik hat ihre glänzendsten Erfolge der Annahme jener Bestimmung, welcher der Verstand widerspricht, zu danken.

Das angeführte Raisonnement, das die falsche Voraussetzung der absoluten Getrenntheit des Seyns und Nichtseyns macht, und bei derselben stehen bleibt, ist nicht Dialektik, sondern Sophisterei zu nennen. Denn Sophisterei ist ein Raisonnement aus einer grundlosen Voraussetzung, die man ohne Kritik und unbesonnen gelten läßt; Dialektik aber nennen wir die höhere vernünftige Bewegung, in welche solche schlechthin getrennt scheinende, durch sich selbst, durch das, was sie sind, in einander übergehen, die Voraussetzung sich aufhebt. Es ist die dialektische immanente Natur des Seyns und Nichts selbst, daß sie ihre Einheit, das Werden, als ihre Wahrheit zeigen.

Anmerkung.

Aufheben und das Aufgehobene (das Ideelle) ist einer der wichtigsten Begriffe der Philosophie, eine Grundbestimmung, die schlechthin allenthalben wiederkehrt, deren Sinn bestimmt aufzufassen und besonders vom Nichts zu unterscheiden ist. - Was sich aufhebt, wird dadurch nicht zu Nichts. Nichts ist das Unmittelbare; ein Aufgehobenes dagegen ist ein Vermitteltes, es ist das Nichtseyende, aber als Resultat, das von einem Seyn ausgegangen ist; es hat daher die Bestimmtheit aus der es herkommt, noch an sich.

Aufheben hat in der Sprache den gedoppelten Sinn, daß es so viel als aufbewahren, erhalten bedeutet, und zugleich so viel als aufhören lassen, ein Ende machen. Das Aufbewahren selbst schließt schon das Negative in sich, daß etwas seiner Unmittelbarkeit und damit einem den äußerlichen Einwirkungen offenen Daseyn entnommen wird, um es zu erhalten. - So ist das Aufgehobene ein zugleich Aufbewahrtes, das nur seine Unmittelbarkeit verloren hat, aber darum nicht vernichtet ist. - Die angegebenen zwei Bestimmungen des Aufhebens können lexikalisch als zwei Bedeutungen dieses Wortes aufgeführt werden. Auffallend müßte es aber dabei seyn, daß eine Sprache dazu gekommen ist, ein und dasselbe Wort für zwei entgegengesetzte Bestimmungen zu gebrauchen. Für das spekulative Denken ist es erfreulich, in der Sprache Wörter zu finden welche eine spekulative Bedeutung an ihnen selbst haben; die deutsche Sprache hat mehrere dergleichen. Der Doppelsinn des lateinischen: tollere (der durch den ciceronianischen Witz tollendum esse Octavium , berühmt geworden) geht nicht so weit, die affirmative Bestimmung geht nur bis zum Emporheben. Etwas ist nur insofern aufgehoben, als es in die Einheit mit seinem Entgegengesetzten getreten ist; in dieser nähern Bestimmung als ein reflektirtes kann es passend Moment genannt werden. Gewicht und Entfernung von einem Punkt heißen beim Hebel, dessen mechanische Momente, um der Dieselbigkeit ihrer Wirkung willen bei aller sonstigen Verschiedenheit eines Reellen, wie das ein Gewicht ist, und eines Ideellen, der bloßen räumlichen Bestimmung, der Linie; s. Encykl. der philos. Wissenschaft 3te Ausg. _ 261. Anm. - Noch öfter wird die Bemerkung sich aufdringen, daß die philosophische Kunstsprache für reflektirte Bestimmungen lateinische Ausdrücke gebraucht, entweder weil die Muttersprache keine Ausdrücke dafür hat, oder wenn sie deren hat, wie hier, weil ihr Ausdruck mehr an das Unmittelbare, die fremde Sprache aber mehr an das Reflektirte erinnert.

Der nähere Sinn und Ausdruck, den Seyn und Nichts, indem sie nunmehr Momente sind, erhalten, hat sich bei der Betrachtung des Daseyns, als der Einheit, in der sie aufbewahrt sind, zu ergeben. Seyn ist Seyn, und Nichts ist Nichts nur in ihrer Unterschiedenheit von einander; in ihrer Wahrheit aber, in ihrer Einheit, sind sie als diese Bestimmungen verschwunden, und sind nun etwas anderes. Seyn und Nichts sind dasselbe; darum weil sie dasselbe sind, sind sie nicht mehr Seyn und Nichts, und haben eine verschiedene Bestimmung; im Werden waren sie Entstehen und Vergehen; im Daseyn als einer anders bestimmten Einheit sind sie wieder anders bestimmte Momente. Diese Einheit bleibt nun ihre Grundlage, aus der sie nicht mehr zur abstrakten Bedeutung von Seyn und Nichts heraustreten.

Anmerkung.

Realität kann ein vieldeutiges Wort zu seyn scheinen, weil es von verschiedenen, ja entgegengesetzten Bestimmungen gebraucht wird. Im philosophischen Sinne wird etwa von bloß empirischer Realität als einem werthlosen Daseyn gesprochen. Wenn aber von Gedanken, Begriffen, Theorien gesagt wird, sie haben keine Realität, so heißt dieß, daß ihnen keine Wirklichkeit zukomme; an sich oder im Begriffe könne die Idee einer platonischen Republik z. B. wohl wahr seyn. Der Idee wird hier ihr Werth nicht abgesprochen, und sie neben der Realität auch belassen. Aber gegen sogenannte bloße Ideen, gegen bloße Begriffe gilt das Reelle als das allein Wahrhafte. - Der Sinn, in welchem das eine Mal dem äußerlichen Daseyn die Entscheidung über die Wahrheit eines Inhalts zugeschrieben wird, ist ebenso einseitig, als wenn die Idee, das Wesen oder auch die innere Empfindung als gleichgültig gegen das äußerliche Daseyn vorgestellt und gar für um so vortrefflicher gehalten wird, je mehr es von der Realität entfernt sey.

Bei dem Ausdrucke: Realität ist der sonstige metaphysische Begriff von Gott, der vornehmlich dem sogenannten ontologischen Beweise vom Daseyn Gottes zu Grunde gelegt wurde, zu erwähnen. Gott wurde als der Inbegriff aller Realitäten bestimmt, und von diesem Inbegriffe gesagt, daß er keinen Widerspruch in sich enthalte, daß keine der Realitäten die andere aufhebe; denn eine Realität sey nur als eine Vollkommenheit, als ein Affirmatives zu nehmen, das keine Negation enthalte. Somit seyen die Realitäten sich nicht entgegengesetzt und widersprechen sich nicht.

Bei diesem Begriffe der Realität wird angenommen, daß sie dann noch bleibe, wenn alle Negation weggedacht werde; damit wird aber alle Bestimmtheit derselben aufgehoben. Die Realität ist Qualität, Daseyn; damit enthält sie das Moment des Negativen, und ist allein dadurch das Bestimmte, das sie ist. Im sogenannten eminenten Sinne oder als unendliche, - in der gewöhnlichen Bedeutung des Worts, - wie sie genommen werden soll, wird sie ins Bestimmungslose erweitert, und verliert ihre Bedeutung. Die Güte Gottes soll nicht Güte im gewöhnlichen, sondern im eminenten Sinne, nicht verschieden von der Gerechtigkeit, sondern durch sie temperirt seyn, (ein leibnitzischer Vermittelungs-Ausdruck) so wie umgekehrt die Gerechtigkeit durch die Güte; so ist weder Güte mehr Güte, noch Gerechtigkeit mehr Gerechtigkeit. Die Macht solle durch die Weisheit temperirt seyn, aber so ist sie nicht Macht als solche, denn sie wäre jener unterworfen, - die Weisheit solle zur Macht erweitert seyn, aber so verschwindet sie als den Zweck und Maaß bestimmende Weisheit. Der wahre Begriff des Unendlichen und dessen absolute Einheit, der sich später ergeben wird, ist nicht als ein Temperiren, gegenseitiges Beschränken oder Vermischen zu fassen, als welches eine oberflächliche, in unbestimmtem Nebel gehaltene Beziehung ist, mit der sich nur begriffloses Vorstellen begnügen kann. - Die Realität, wie sie in jener Definition Gottes als bestimmte Qualität genommen wird, über ihre Bestimmtheit hinausgeführt, hört auf Realität zu seyn; sie wird zum abstrakten Seyn; Gott als das rein Reale in allem Realen, oder als Inbegriff aller Realitäten, ist dasselbe Bestimmungs- und Gehaltlose, was das leere Absolute, in dem alles Eins ist.

Wird dagegen die Realität in ihrer Bestimmtheit genommen, so wird, da sie wesentlich das Moment des Negativen enthält, der Inbegriff aller Realitäten ebenso sehr zu einem Inbegriffe aller Negationen, dem Inbegriffe aller Widersprüche, zunächst etwa zur absoluten Macht, in der alles Bestimmte absorbirt ist, aber da sie selbst nur ist, insofern sie noch ein von ihr nicht Aufgehobenes sich gegenüber hat, so wird sie, indem sie zur ausgeführten, schrankenlosen Macht erweitert gedacht wird, zum abstrakten Nichts. Jenes Reale in allem Realen, das Seyn in allem Daseyn, welches den Begriff Gottes ausdrücken soll, ist nichts anderes, als das abstrakte Seyn, dasselbe was das Nichts ist.

Die Bestimmtheit ist die Negation als affirmativ gesetzt, ist der Satz des Spinoza: Omnis determinatio est negatio , dieser Satz ist von unendlicher Wichtigkeit; nur ist die Negation als solche die formlose Abstraktion; der spekulativen Philosophie muß aber nicht Schuld gegeben werden, daß ihr die Negation oder das Nichts ein Letztes sey; dieß ist es ihr so wenig als die Realität das Wahrhafte.

Von diesem Satze, daß die Bestimmtheit Negation ist, ist die Einheit der Spinozistischen Substanz, oder daß nur Eine Substanz ist, - die nothwendige Konsequenz. Denken und Seyn oder Ausdehnung, die zwei Bestimmungen, die Spinoza nämlich vor sich hat, mußte er in dieser Einheit in eins setzen, denn als bestimmte Realitäten, sind sie Negationen, deren Unendlichkeit ihre Einheit ist; nach Spinozas Definition, wovon weiter unten, ist die Unendlichkeit von Etwas seine Affirmation. Er begriff sie daher als Attribute, d. h. als solche, die nicht ein besonderes Bestehen, ein An-und-für-sich-Seyn haben, sondern nur als aufgehobene, als Momente sind; oder vielmehr sind sie ihm nicht einmal Momente, denn die Substanz ist das in ihr selbst ganz bestimmungslose, und die Attribute sind, wie auch die Modi, Unterscheidungen, die ein äußerer Verstand macht. - Eben so kann die Substantialität der Individuen, nicht gegen jenen Satz bestehen. Das Individuum ist Beziehung auf sich dadurch, daß es allein Anderen Grenzen setzt; aber diese Grenzen sind damit auch Grenzen seiner selbst, Beziehungen auf Anderes, es hat sein Daseyn nicht in ihm selbst. Das Individuum ist wohl mehr als nur das nach allen Seiten beschränkte, aber dieß Mehr gehört in eine andere Sphäre des Begriffs; in der Metaphysik des Seyns ist es ein schlechthin bestimmtes; und daß ein solches, daß das Endliche als solches an und für sich sey, dagegen macht sich die Bestimmtheit wesentlich als Negation geltend, und reißt es in dieselbe negative Bewegung des Verstandes, welche alles in der abstrakten Einheit, der Substanz, verschwinden läßt.

Die Negation steht unmittelbar der Realität gegenüber; weiterhin in der eigentlichen Sphäre der reflektirten Bestimmungen, wird sie dem Positiven entgegengesetzt, welches die auf die Negation reflektirende Realität ist, - die Realität, an der das Negative scheint, das in der Realität als solcher noch versteckt ist.

Die Qualität ist erst in der Rücksicht vornehmlich Eigenschaft, als sie in einer äußerlichen Beziehung sich als immanente Bestimmung zeigt. Unter Eigenschaften z. B. von Kräutern versteht man Bestimmungen, die einem Etwas nicht nur überhaupt eigen sind, sondern insofern es sich dadurch in der Beziehung auf andere auf eine eigenthümliche Weise erhält, die fremden in ihm gesetzten Einwirkungen nicht in sich gewähren läßt, sondern seine eigene Bestimmungen in dem Anderen, - ob es dieß zwar nicht von sich abhält, - geltend macht. Die mehr ruhenden Bestimmtheiten, z. B. Figur, Gestalt, nennt man dagegen nicht wohl Eigenschaften, auch etwa nicht Qualitäten, insofern sie als veränderlich, mit dem Seyn nicht identisch vorgestellt werden.

Die Qualirung oder Inqualirung, ein Ausdruck der Jacob-Böhmischen, einer in die Tiefe aber in eine trübe Tiefe gehenden Philosophie, bedeutet die Bewegung einer Qualität (der sauren, herben, feurigen u.s.f.) in ihr selbst, insofern sie in ihrer negativen Natur (in ihrer Qual) sich aus anderem setzt und befestigt, überhaupt die Unruhe ihrer an ihr selbst ist, nach der sie nur im Kampfe sich hervorbringt und erhält.

Anmerkung 1.

Das Unendliche, - nach dem gewöhnlichen Sinne der schlechten Unendlichkeit, - und der Progreß ins Unendliche, wie das Sollen, sind der Ausdruck eines Widerspruchs, der sich selbst für die Auflösung und für das Letzte giebt. Dieß Unendliche ist eine erste Erhebung des sinnlichen Vorstellens über das Endliche in den Gedanken, der aber nur den Inhalt von Nichts, dem ausdrücklich als Nichtseyend gesetzten, hat, - eine Flucht über das Beschränkte, die sich nicht in sich sammelt, und das Negative nicht zum Positiven zurückzubringen weiß. Diese unvollendete Reflexion hat die beiden Bestimmungen des wahrhaft Unendlichen: den Gegensatz des Endlichen und Unendlichen, und die Einheit des Endlichen und Unendlichen, vollständig vor sich, aber bringt diese beiden Gedanken nicht zusammen; der eine führt untrennbar den anderen herbei, aber sie läßt sie nur abwechseln. Die Darstellung dieser Abwechslung, der unendliche Progreß, tritt allenthalben ein, wo in dem Widerspruche der Einheit zweier Bestimmungen und des Gegensatzes derselben verharrt wird. Das Endliche ist das Aufheben seiner selbst, es schließt seine Negation, die Unendlichkeit in sich; - die Einheit beider, - es wird hinaus über das Endliche zum Unendlichen als dem Jenseits desselben gegangen, - Trennung beider; aber über das Unendliche hinaus ist ein anderes Endliches, - das Hinaus, das Unendliche, enthält die Endlichkeit, - Einheit beider; aber dieß Endliche ist auch ein Negatives des Unendlichen; - Trennung beider, u.s.f. - So ist im Kausalitätsverhältniß Ursache und Wirkung untrennbar; eine Ursache, die keine Wirkung haben sollte, ist nicht Ursache, wie die Wirkung, die keine Ursache hätte, nicht mehr Wirkung. Dieß Verhältniß giebt daher den unendlichen Progreß von Ursachen und Wirkungen; Etwas ist als Ursache bestimmt, aber sie hat als ein endliches (- und endlich ist sie eben eigentlich wegen ihrer Trennung von der Wirkung) selbst eine Ursache, d. h. sie ist auch Wirkung; somit ist dasselbe, was als Ursache bestimmt wurde, auch als Wirkung bestimmt; - Einheit der Ursache und der Wirkung; - das nun als Wirkung Bestimmte hat von neuem eine Ursache, d. i. die Ursache ist von ihrer Wirkung zu trennen, und als ein verschiedenes Etwas zu setzen; - diese neue Ursache ist aber selbst nur eine Wirkung - Einheit der Ursache und Wirkung; - sie hat ein Anderes zu ihrer Ursache; - Trennung beider Bestimmungen u.s.f. ins Unendliche.

Dem Progreß kann so die eigenthümlichere Form gegeben werden; es wird die Behauptung gemacht, das Endliche und Unendliche sind Eine Einheit; diese falsche Behauptung muß durch die entgegengesetzte berichtigt werden: sie sind schlechthin verschieden und sich entgegengesetzt; diese ist wieder dahin zu berichtigen, daß sie untrennbar sind, in der einen Bestimmung die andere liegt, durch die Behauptung ihrer Einheit und so fort ins Unendliche. - Es ist eine leichte Forderung, welche um die Natur des Unendlichen einzusehen, gemacht wird, das Bewußtseyn zu haben, daß der unendliche Progreß, das entwickelte Unendliche des Verstandes, die Beschaffenheit hat, die Abwechslung der beiden Bestimmungen, der Einheit und der Trennung beider Momente zu seyn, und dann das fernere Bewußtseyn zu haben, daß diese Einheit und diese Trennung selbst untrennbar sind.

Die Auflösung dieses Widerspruchs ist nicht die Anerkennung der gleichen Richtigkeit, und der gleichen Unrichtigkeit beider Behauptungen; - dieß ist nur eine andere Gestalt des bleibenden Widerspruchs, - sondern die Idealität beider, als in welcher sie in ihrem Unterschiede, als gegenseitige Negationen, nur Momente sind; jene eintönige Abwechslung ist faktisch sowohl die Negation der Einheit als der Trennung derselben. In ihr ist ebenso faktisch das oben Aufgezeigte vorhanden, daß das Endliche über sich hinaus in das Unendliche fällt, aber ebenso über dasselbe hinaus sich selbst wieder erzeugt findet, hiermit darin nur mit sich zusammengeht, wie das Unendliche gleichfalls; so daß dieselbe Negation der Negation sich zur Affirmation resultirt, welches Resultat sich damit als ihre Wahrheit und Ursprünglichkeit erweist. In diesem Seyn hiermit als der Idealität der Unterschiedenen ist der Widerspruch nicht abstrakt verschwunden, sondern aufgelöst und versöhnt, und die Gedanken sind nicht nur vollständig, sondern sie sind auch zusammengebracht. Die Natur des spekulativen Denkens zeigt sich hieran als einem ausgeführten Beispiele in ihrer bestimmten Weise, sie besteht allein in dem Auffassen der entgegengesetzten Momente in ihrer Einheit. Indem jedes und zwar faktisch sich an ihm zeigt, sein Gegentheil an ihm selbst zu haben, und in diesem mit sich zusammenzugehen, so ist die affirmative Wahrheit diese sich in sich bewegende Einheit, das Zusammenfassen beider Gedanken, ihre Unendlichkeit, - die Beziehung auf sich selbst, nicht die unmittelbare, sondern die unendliche.

Das Wesen der Philosophie ist häufig von solchen, die mit dem Denken schon vertrauter sind, in die Aufgabe gesetzt worden, zu beantworten, wie das Unendliche aus sich heraus und zur Endlichkeit komme? - Dieß, meint man, sey nicht begreiflich zu machen. Das Unendliche, bei dessen Begriff wir angekommen sind, wird sich im Fortgange dieser Darstellung weiter bestimmen, und an ihm in aller Mannigfaltigkeit der Formen das Geforderte zeigen, wie es, wenn man sich so ausdrücken will, zur Endlichkeit komme. Hier betrachten wir diese Frage nur in ihrer Unmittelbarkeit, und in Rücksicht des vorhin betrachteten Sinnes, den das Unendliche zu haben pflegt.

Von der Beantwortung dieser Frage soll es überhaupt abhängen, ob es eine Philosophie gebe, und indem man es hierauf noch ankommen lassen zu wollen vorgiebt, glaubt man zugleich an der Frage selbst eine Art von Vexirfrage, einen unüberwindlichen Talisman, zu besitzen, durch den man gegen die Beantwortung und damit gegen die Philosophie und das Ankommen bei derselben fest und gesichert sey. Auch bei anderen Gegenständen setzt es eine Bildung voraus, fragen zu verstehen, noch mehr aber bei philosophischen Gegenständen, um eine andere Antwort zu erhalten, als die, daß die Frage nichts tauge. - Es pflegt bei solchen Fragen die Billigkeit in Anspruch genommen zu werden, daß es auf die Worte nicht ankomme, sondern in einer oder anderen Weise des Ausdrucks verständlich sey, worauf es ankomme? Ausdrücke sinnlicher Vorstellung, wie herausgehen und dergleichen, die bei der Frage gebraucht werden, erwecken den Verdacht, daß sie aus dem Boden des gewöhnlichen Vorstellens stamme, und für die Beantwortung auch Vorstellungen, die im gemeinen Leben gangbar sind, und die Gestalt eines sinnlichen Gleichnisses erwartet werden.

Wenn statt des Unendlichen das Seyn überhaupt genommen wird, so scheint das Bestimmen des Seyns, eine Negation oder Endlichkeit an ihm, leichter begreiflich. Seyn ist zwar selbst das Unbestimmte, aber es ist nicht unmittelbar an ihm ausgedrückt, daß es das Gegentheil des Bestimmten sey. Das Unendliche hingegen enthält dieß ausgedrückt; es ist das Nicht-Endliche. Die Einheit des Endlichen und Unendlichen scheint somit unmittelbar ausgeschlossen; die unvollendete Reflexion ist darum am hartnäckigsten gegen diese Einheit.

Es ist aber gezeigt worden, und es erhellt, ohne weiter in die Bestimmung des Endlichen und Unendlichen einzugehen, unmittelbar, daß das Unendliche in dem Sinne, ( in dem es von jenem Reflektiren genommen wird, - nämlich als dem Endlichen gegenüberstehend, - darum weil es ihm gegenübersteht, an ihm sein Anderes hat, daher schon begrenzt, und selbst endlich, das Schlechtunendliche ist. Die Antwort auf die Frage, wie das Unendliche endlich werde, ist somit diese, daß es nicht ein Unendliches gibt, das vorerst unendlich ist, und das nachher erst endlich zu werden, zur Endlichkeit herauszugehen nöthig habe, sondern es ist für sich selbst schon eben so sehr endlich als unendlich. Indem die Frage annimmt, daß das Unendliche einer Seits für sich, und daß das Endliche, das aus ihm heraus in die Trennung gegangen, oder wo es hergekommen seyn möchte, abgesondert von ihm, wahrhaft real sey, - so wäre vielmehr zu sagen, diese Trennung sey unbegreiflich. Weder solches Endliches, noch solches Unendliches hat Wahrheit; das Unwahre aber ist unbegreiflich. Man muß aber ebenso sagen, sie seyen begreiflich; die Betrachtung derselben, auch wie sie in der Vorstellung sind, daß in dem einen die Bestimmung des anderen liegt, die einfache Einsicht in diese ihre Untrennbarkeit haben, heißt sie begreifen; diese Untrennbarkeit ist ihr Begriff. - In der Selbstständigkeit jenes Unendlichen und Endlichen dagegen stellt jene Frage einen unwahren Inhalt auf, und enthält in sich schon eine unwahre Beziehung desselben. Darum ist nicht auf sie zu antworten, sondern vielmehr sind die falschen Voraussetzungen, die sie enthält, d. i. die Frage selbst zu negiren. Durch die Frage nach der Wahrheit jenes Unendlichen und Endlichen wird der Standpunkt verändert, und diese Veränderung wird die Verlegenheit, welche die erste Frage hervorbringen sollte, auf sie zurückbringen; jene unsre Frage ist der Reflexion, aus der die erste Frage stammt, neu, da solches Reflektiren nicht das spekulative Interesse enthält, welches, für sich und ehe es Bestimmungen bezieht, darauf geht, zu erkennen, ob dieselben, wie sie vorausgesetzt werden, etwas Wahres seyen. Insofern aber die Unwahrheit jenes abstrakten Unendlichen, und des eben so auf seiner Seite stehen bleiben sollenden Endlichen erkannt ist, so ist über das Herausgehen des Endlichen aus dem Unendlichen zu sagen, das Unendliche gehe zur Endlichkeit heraus, darum weil es keine Wahrheit, kein Bestehen an ihm, wie es als abstrakte Einheit gefaßt ist, hat; so umgekehrt geht das Endliche aus demselben Grunde seiner Nichtigkeit in das Unendliche hinein. oder vielmehr ist zu sagen, daß das Unendliche ewig zur Endlichkeit herausgegangen, daß es schlechthin nicht ist, so wenig als das reine Seyn, allein für sich, ohne sein Anderes an ihm selbst zu haben.

Jene Frage, wie das Unendliche zum Endlichen herausgehe, kann noch die weitere Voraussetzung enthalten, daß das Unendliche an sich das Endliche in sich schliesse, somit an sich die Einheit seiner selbst und seines Anderen sey, so daß die Schwierigkeit sich wesentlich auf das Trennen bezieht, als welches der vorausgesetzten Einheit beider entgegensteht. In dieser Voraussetzung hat der Gegensatz, an welchem festgehalten s wird, nur eine andere Gestalt; die Einheit und das Unterscheiden werden von einander getrennt und isolirt. Wenn aber jene nicht als die abstrakte unbestimmte Einheit, sondern schon wie in jener Voraussetzung als die bestimmte Einheit des Endlichen und Unendlichen genommen wird, so ist die Unterscheidung beider bereits darin auch vorhanden, - eine Unterscheidung, die so zugleich nicht ein Loslassen derselben zu getrennter Selbstständigkeit ist, sondern sie als ideelle in der Einheit läßt. Diese Einheit des Unendlichen und Endlichen und deren Unterscheidung sind dasselbe Untrennbare als die Endlichkeit und Unendlichkeit.

Anmerkung 2.

Der Satz, daß das Endliche ideell ist, macht den Idealismus aus. Der Idealismus der Philosophie besteht in nichts anderem, als darin, das Endliche nicht als ein wahrhaft Seyendes anzuerkennen. Jede Philosophie ist wesentlich Idealismus, oder hat denselben wenigstens zu ihrem Princip, und die Frage ist dann nur, inwiefern dasselbe wirklich durchgeführt ist. Die Philosophie ist es so sehr als die Religion; denn die Religion anerkennt die Endlichkeit ebenso wenig als ein wahrhaftes Seyn, als ein Letztes, Absolutes, oder als ein Nicht-Gesetztes, Unerschaffenes, Ewiges. Der Gegensatz von idealistischer und realistischer Philosophie ist daher ohne Bedeutung. Eine Philosophie, welche dem endlichen Daseyn als solchem wahrhaftes, letztes, absolutes Seyn zuschriebe, verdiente den Namen Philosophie nicht; Principien älterer oder neuerer Philosophien, das Wasser, oder die Materie oder die Atome sind Gedanken, Allgemeine, Ideelle, nicht Dinge, wie sie sich unmittelbar vorfinden, d. h. in sinnlicher Einzelnheit, selbst jenes thaletische Wasser nicht; denn, obgleich auch das empirische Wasser, ist es außerdem zugleich das Ansich oder Wesen aller anderen Dinge; und diese sind nicht selbstständige, in sich gegründete, sondern aus einem Anderen, dem Wasser, gesetzte, d. i. ideelle. Indem vorhin das Princip, das Allgemeine, das Ideelle genannt worden, wie noch mehr der Begriff, die Idee, der Geist, Ideelles zu nennen ist, und dann wiederum die einzelnen sinnlichen Dinge als ideell im Princip, im Begriffe, noch mehr im Geiste, als aufgehoben sind, so ist dabei auf dieselbe Doppelseite vorläufig aufmerksam zu machen, die bei dem Unendlichen sich gezeigt hat, nämlich daß das eine Mal das Ideelle das Konkrete, Wahrhaftseyende ist, das andere Mal aber ebenso sehr seine Momente das Ideelle, in ihm Aufgehobene sind, in der That aber nur das Eine konkrete Ganze ist, von dem die Momente untrennbar sind.

Bei dem Ideellen wird vornehmlich die Form der Vorstellung gemeint, und das was in meiner Vorstellung überhaupt, oder im Begriffe, in der Idee, in der Einbildung u.s.f. ist, ideell genannt, so daß Ideelles überhaupt auch für Einbildungen gilt, - Vorstellungen, die nicht nur vom Reellen unterschieden, sondern wesentlich nicht reell seyn sollen. In der That ist der Geist der eigentliche Idealiste überhaupt; in ihm, schon wie er empfindend, vorstellend, noch mehr, insofern er denkend und begreifend ist, ist der Inhalt nicht als sogenanntes reales Daseyn; in der Einfachheit des Ich ist solches äußerliches Seyn nur aufgehoben, es ist für mich, es ist ideell in mir. Dieser subjektive Idealismus, er sey als der bewußtlose Idealismus des Bewußtseyns überhaupt oder bewußt als Princip ausgesprochen und aufgestellt, geht nur auf die Form der Vorstellung, nach der ein Inhalt der Meinige ist; diese Form wird im systematischen Idealismus der Subjektivität als die einzig wahrhafte, die ausschließende gegen die Form der Objektivität oder Realität, des äußerlichen Daseyns jenes Inhalts behauptet. Solcher Idealismus ist formell, indem er den Inhalt des Vorstellens oder Denkens nicht beachtet, welcher im Vorstellen oder Denken dabei ganz in seiner Endlichkeit bleiben kann. Es ist mit solchem Idealismus nichts verloren, ebenso wohl weil die Realität solchen endlichen Inhalts, das mit Endlichkeit erfüllte Daseyn, erhalten ist, als, insofern davon abstrahirt wird, an sich an solchem Inhalt nichts gelegen seyn soll; und es ist nichts mit ihm gewonnen, eben weil nichts verloren ist, weil Ich die Vorstellung, der Geist mit demselben Inhalt der Endlichkeit erfüllt bleibt. Der Gegensatz der Form von Subjektivität und Objektivität ist allerdings eine der Endlichkeiten; aber der Inhalt, wie er in die Empfindung, Anschauung oder auch in das abstraktere Element der Vorstellung, des Denkens, aufgenommen wird, enthält die Endlichkeiten in Fülle, welche mit dem Ausschließen jener nur einen Weise der Endlichkeit, der Form von Subjektivem und objektivem, noch gar nicht weggebracht, noch weniger von selbst weggefallen sind.

Anmerkung.

Der zunächst als sonderbar erscheinende Ausdruck unserer Sprache für die Frage nach der Qualität, was für ein Ding etwas sey, hebt das hier betrachtete Moment in seiner Reflexion-in-sich heraus. Dieser Ausdruck ist in seinem Ursprung idealistisch, indem er nicht fragt, was dieß Ding A für ein anderes Ding B sey, nicht was dieser Mensch für einen anderen Menschen sey; - sondern was dieß für ein Ding, für ein Mensch ist so daß dieß Seyn-für-Eines zugleich zurückgenommen ist in dieß Ding, in diesen Menschen selbst, daß dasjenige, welches ist, und das für welches es ist, ein und dasselbe ist, - eine Identität, als welche auch die Idealität betrachtet werden muß.

Die Idealität kommt zunächst den aufgehobenen Bestimmungen zu, als unterschieden von dem, worin sie aufgehoben sind, das dagegen als das Reelle genommen werden kann. So aber ist das Ideelle wieder eins der Momente und das Reale das andere; die Idealität aber ist dieß, daß beide Bestimmungen gleicherweise nur für Eines sind, und nur für Eines gelten, welche Eine Idealität somit ununterschieden Realität ist. In diesem Sinn ist das Selbstbewußtseyn, der Geist, Gott, das Ideelle, als unendliche Beziehung rein auf sich, - Ich-ist für Ich, beide sind dasselbe, Ich ist zweimal genannt, aber so von den Zweien ist jedes nur für-Eines, ideell; der Geist ist nur für den Geist, Gott nur für Gott, und nur diese Einheit ist Gott, Gott als Geist. - Das Selbstbewußtseyn aber tritt als Bewußtseyn in den Unterschied seiner und eines Anderen, oder seiner Idealität, in der es vorstellend ist, und seiner Realität, indem seine Vorstellung einen bestimmten Inhalt hat, der noch die Seite hat, als das unaufgehobene Negative, als Daseyn, gewußt zu werden. Jedoch den Gedanken, Geist, Gott nur ein Ideelles zu nennen, setzt den Standpunkt voraus, auf welchem das endliche Daseyn als das Reale gilt, und das Ideelle oder das Seyn-für-Eines nur einen einseitigen Sinn hat.

In einer vorherg. Anm. ist das Princip des Idealismus angegeben und gesagt worden, daß es bei einer Philosophie alsdann näher darauf ankomme, in wiefern das Princip durchgeführt ist. Ueber die Art dieser Durchführung kann in Beziehung auf die Kategorie, bei der wir stehen, noch eine weitere Bemerkung gemacht werden. Diese Durchführung hängt zunächst davon ab, - ob neben dem Fürsichseyn nicht noch das endliche Daseyn selbstständig bestehen bleibt, außerdem aber ob in dem Unendlichen schon selbst das Moment: für-Eines, ein Verhalten des Ideellen zu sich als Ideellem, gesetzt sey. So ist das eleatische Seyn oder die Spinozische Substanz nur die abstrakte Negation aller Bestimmtheit, ohne daß in ihr selbst die Idealität gesetzt wäre; - bei Spinoza ist, wie weiter unten erwähnt werden wird, die Unendlichkeit nur die absolute Affirmation eines Dings, somit nur die unbewegte Einheit, die Substanz kommt daher nicht einmal zur Bestimmung des Fürsichseyns, vielweniger des Subjekts und des Geistes. Der Idealismus des edeln Malebranche ist in sich explicirter; er enthält folgende Grundgedanken: da Gott alle ewige Wahrheiten, die Ideen, und Vollkommenheiten aller Dinge in sich schließt, so daß sie nur die seinigen sind, so sehen wir sie nur in ihm; Gott erweckt in uns unsere Empfindungen von den Gegenständen durch eine Aktion, die nichts Sinnliches hat, wobei wir uns einbilden, daß wir vom Gegenstande nicht nur dessen Idee die dessen Wesen vorstellt, sondern auch die Empfindung von dem Daseyn desselben erlangen ( De la recherche de la Verité, Eclairc. sur la nature des idées etc.). Wie also die ewigen Wahrheiten und Ideen (Wesenheiten) der Dinge, so ist ihr Daseyn, in Gott, ideell, nicht ein wirkliches Daseyn; obgleich als unsere Gegenstände, sind sie nur für Eines. Dieß Moment des explicirten und konkreten Idealismus, das im Spinozismus mangelt, ist hier vorhanden, indem die absolute Idealität als Wissen bestimmt ist. So rein und tief dieser Idealismus ist, so enthalten jene Verhältnisse Theils noch viel für den Gedanken Unbestimmtes, Theils aber ist deren Inhalt sogleich ganz konkret (die Sünde und die Erlösung u.s.f. treten sogleich in sie ein); die logische Bestimmung der Unendlichkeit, die dessen Grundlage seyn müßte, ist nicht für sich ausgeführt, und so jener erhabene und erfüllte Idealismus wohl das Produkt eines reinen spekulativen Geistes, aber noch nicht eines reinen spekulativen, allein wahrhaft begründenden, Denkens. Der leibnitzische Idealismus liegt mehr innerhalb der Grenze des abstrakten Begriffes. - Das leibnitzische vorstellende Wesen, die Monade, ist wesentlich Ideelles. Das Vorstellen ist ein Fürsichseyn, in welchem die Bestimmtheiten nicht Grenzen und damit nicht ein Daseyn, sondern nur Momente sind. Vorstellen ist zwar gleichfalls eine konkretere Bestimmung, aber hat hier keine weitere Bedeutung, als die der Idealität; denn auch das Bewußtseynslose überhaupt ist bei Leibnitz Vorstellendes, Percipirendes. Es ist in diesem Systeme also das Andersseyn aufgehoben; Geist und Körper, oder die Monaden überhaupt sind nicht Andere für einander, sie begrenzen sich nicht, haben keine Einwirkung aufeinander; es fallen überhaupt alle Verhältnisse weg, welchen ein Daseyn zum Grunde liegt. Die Mannigfaltigkeit ist nur eine ideelle und innere, die Monade bleibt darin nur auf sich selbst bezogen, die Veränderungen entwickeln sich innerhalb ihrer, und sind keine Beziehungen derselben auf andere. Was nach der realen Bestimmung als da seyende Beziehung der Monaden aufeinander genommen wird, ist ein unabhängiges nur simultanes Werden, in das Fürsichseyn einer jeden eingeschlossen. - Daß es mehrere Monaden giebt, daß sie damit auch als Andere bestimmt werden, geht die Monaden selbst nichts an; es ist dieß die außer ihnen fallende Reflexion eines Dritten; sie sind nicht an ihnen selbst Andere gegeneinander; das Fürsichseyn ist rein ohne das Daneben eines Daseyns gehalten. - Allein hierin liegt zugleich das Unvollendete dieses Systems. Die Monaden sind nur an sich, oder in Gott, als der Monade der Monaden, oder auch im Systeme, so Vorstellende. Das Andersseyn ist gleichfalls vorhanden; es falle wohin es wolle, in die Vorstellung selbst, oder wie das Dritte bestimmt werde, welches sie als Andere, als Viele, betrachtet. Die Vielheit ihres Daseyns ist nur ausgeschlossen und zwar nur momentan, die Monaden nur durch die Abstraktion als solche gesetzt, welche Nicht-Andere seyen. Wenn es ein Drittes ist, welches ihr Andersseyn setzt, so ist es auch ein Drittes, welches ihr Andersseyn aufhebt; aber diese ganze Bewegung, welche sie zu ideellen macht, fällt außer ihnen. Indem aber daran erinnert werden kann, daß diese Bewegung des Gedankens selbst doch nur innerhalb einer vorstellenden Monade falle, so ist zugleich zu erinnern, daß eben der Inhalt solchen Denkens in sich selbst sich äußerlich ist. Es wird von der Einheit der absoluten Idealität (der Monade der Monaden) unmittelbar, unbegriffen (- durch die Vorstellung des Erschaffens) zur Kategorie der abstrakten (beziehungslosen) Vielheit des Daseyns übergegangen, und von dieser ebenso abstrakt zurück zu jener Einheit. Die Idealität, das Vorstellen überhaupt, bleibt etwas formelles, wie gleichfalls das zum Bewußtseyn gesteigerte Vorstellen.

Wie in dem oben angeführten Einfalle Leibnitzens von der Magnetnadel, die wenn sie ein Bewußtseyn hätte, ihre Richtung nach Norden für eine Bestimmung ihrer Freiheit ansehen würde, das Bewußtseyn nur als einseitige Form, welche gegen ihre Bestimmung und Inhalt gleichgültig sey, gedacht wird, so ist die Idealität in den Monaden eine der Vielheit äußerlich bleibende Form. Die Idealität soll ihnen immanent, ihre Natur Vorstellen seyn; aber ihr Verhalten ist einer Seits ihre Harmonie, die nicht in ihr Daseyn fällt, sie ist daher prästabilirt; anderer Seits ist dieses ihr Daseyn nicht als Seyn-für-Anderes, noch weiter als Idealität gefaßt, sondern nur als abstrakte Vielheit bestimmt; die Idealität der Vielheit und die weitere Bestimmung derselben zur Harmonie wird nicht dieser Vielheit selbst immanent und angehörig.

Anderer Idealismus, wie zum Beispiel der kantische und fichte'sche, kommt nicht über das Sollen oder den unendlichen Progreß hinaus, und bleibt im Dualismus des Daseyns und des Fürsichseyns. In diesen Systemen tritt das Ding-an-sich oder der unendliche Anstoß zwar unmittelbar in das Ich und wird nur ein für dasselbe; aber er geht von einem freien Andersseyn aus, das als negatives Ansichseyn perennirt. Das Ich wird daher wohl als das Ideelle, als fürsichseyend, als unendliche Beziehung auf sich bestimmt; aber das Für-Eines-seyn ist nicht vollendet zum Verschwinden jenes Jenseitigen oder der Richtung nach dem Jenseits.

Anmerkung.

Das Eins in dieser Form von Daseyn ist die Stufe der Kategorie, die bei den Alten, als das atomistische Princip vorgekommen ist, nach welchem das Wesen der Dinge ist, das Atome und das Leere, ( .... .) Die Abstraktion zu dieser Form gediehen, hat eine größere Bestimmtheit gewonnen, als das Seyn des Parmenides und das Werden des Heraklits. So hoch sie sich stellt, indem sie diese einfache Bestimmtheit des Eins und des Leeren zum Princip aller Dinge macht, die unendliche Mannigfaltigkeit der Welt auf diesen einfachen Gegensatz zurückführt, und sie aus ihm zu erkennen sich erkühnt, ebenso leicht ist es für das vorstellende Reflektiren, sich hier Atome und daneben das Leere vorzustellen. Es ist daher kein Wunder, daß das atomistische Princip sich jederzeit erhalten hat; das gleich triviale und äußerliche Verhältniß der Zusammensetzung, das noch hinzukommen muß, um zum Scheine eines Konkreten und einer Mannigfaltigkeit zu gelangen, ist eben so populär als die Atome selbst und das Leere. Das Eins und das Leere ist das Fürsichseyn, das höchste qualitative Insichseyn zur völligen Aeußerlichkeit herabgesunken; die Unmittelbarkeit oder das Seyn des Eins, weil es die Negation alles Andersseyns ist, ist gesetzt nicht mehr bestimmbar und veränderlich zu seyn, für dessen absolute Sprödigkeit bleibt also alle Bestimmung, Mannigfaltigkeit, Verknüpfung schlechthin äußerliche Beziehung.

In dieser Aeußerlichkeit ist jedoch das atomistische Princip nicht bei den ersten Denkern desselben geblieben, sondern es hatte außer seiner Abstraktion auch eine spekulative Bestimmung darin, daß das Leere als der Quell der Bewegung erkannt worden ist; was eine ganz andere Beziehung des Atomen und des Leeren ist, als das bloße Nebeneinander und die Gleichgültigkeit dieser beiden Bestimmungen gegeneinander. Daß das Leere der Quell der Bewegung ist, hat nicht den geringfügigen Sinn, daß sich Etwas nur in ein Leeres hineinbewegen könne, und nicht in einen schon erfüllten Raum, denn in einem solchen fände es keinen Platz mehr offen; in welchem Verstande das Leere nur die Voraussetzung oder Bedingung, nicht der Grund der Bewegung wäre, so wie auch die Bewegung selbst als vorhanden vorausgesetzt, und das Wesentliche, ein Grund derselben, vergessen ist. Die Ansicht, daß das Leere den Grund der Bewegung ausmache, enthält den tiefern Gedanken, daß im Negativen überhaupt, der Grund des Werdens, der Unruhe der Selbstbewegung liegt; in welchem Sinne aber das Negative als die wahrhafte Negativität des Unendlichen zu nehmen ist. - Das Leere ist Grund der Bewegung nur als die negative Beziehung des Eins auf sein Negatives, auf das Eins, d. i. auf sich selbst, das jedoch als Daseyendes gesetzt ist.

Sonst aber sind weitere Bestimmungen der Alten über eine Gestalt, Stellung der Atome, die Richtung ihrer Bewegung willkürlich und äußerlich genug; und stehen dabei in direktem Widerspruch mit der Grundbestimmung des Atomen. An den Atomen, dem Princip der höchsten Aeußerlichkeit und damit der höchsten Begrifflosigkeit, leidet die Physik in den Molecules, Partikeln ebenso sehr als die Staatswissenschaft, die von dem einzelnen Willen der Individuen ausgeht.

Anmerkung.

Es ist vorhin des leibnitzischen Idealismus erwähnt worden. Es kann hier hinzugesetzt werden, daß derselbe von der vorstellenden Monade aus, die als Fürsichseyende bestimmt ist, nur bis zu der so eben betrachteten Repulsion fortging, und zwar nur zu der Vielheit als solcher, in der die Eins jedes nur für sich, gleichgültig gegen das Daseyn und Für-sich-seyn anderer ist, oder überhaupt Andere gar nicht für das Eins sind. Die Monade ist für sich die ganze abgeschlossene Welt; es bedarf keine der andern; aber diese innere Mannigfaltigkeit, die sie in ihrem Vorstellen hat, ändert in ihrer Bestimmung, für sich zu seyn, nichts. Der Leibnitzische Idealismus nimmt die Vielheit unmittelbar als eine gegebene auf, und begreift sie nicht als eine Repulsion der Monade; er hat daher die Vielheit nur nach der Seite ihrer abstrakten Aeußerlichkeit. Die Atomistik hat den Begriff der Idealität nicht; sie faßt das Eins nicht als ein solches, das in ihm selbst die beiden Momente des Fürsichseyns und des Für-es-seyns enthält, also als ideelles, sondern nur als einfach, trocken Für-sich-seyendes. Aber sie geht über die bloß gleichgültige Vielheit hinaus; die Atomen kommen in eine weitere Bestimmung gegeneinander, wenn auch eigentlich auf inkonsequente Weise; da hingegen in jener gleichgültigen Unabhängigkeit der Monaden, die Vielheit als starre Grundbestimmung bleibt, so daß ihre Beziehung nur in die Monade der Monaden, oder in den betrachtenden Philosophen fällt.

Anmerkung

Die Selbstständigkeit auf die Spitze des fürsichseyenden Eins getrieben, ist die abstrakte, formelle Selbstständigkeit, die sich selbst zerstört; der höchste, hartnäckigste Irrthum, der sich für die höchste Wahrheit nimmt; - in konkreteren Formen als abstrakte Freiheit, als reines Ich, und dann weiter als das Böse erscheinend. Es ist die Freiheit, die sich so vergreift, ihr Wesen in diese Abstraktion zu setzen, und in diesem Bei-sich-seyn sich schmeichelt, sich rein zu gewinnen. Diese Selbstständigkeit ist bestimmter der Irrthum, das als negativ anzusehen und sich gegen das als negativ zu verhalten, was ihr eignes Wesen ist. Sie ist so das negative Verhalten gegen sich selbst, welches, indem es sein eigenes Seyn gewinnen will, dasselbe zerstört, und dieß sein Thun ist nur die Manifestation der Nichtigkeit dieses Thuns. Die Versöhnung ist die Anerkennung dessen, gegen welches das negative Verhalten geht, vielmehr als seines Wesens, und ist nur als Ablassen von der Negativität seines Fürsichseyns, statt an ihm festzuhalten.

Es ist ein alter Satz, daß das Eine Vieles und insbesondere: daß das Viele Eines ist. Es ist hierüber die Bemerkung zu wiederholen, daß die Wahrheit des Eins und des Vielen in Sätzen ausgedrückt in einer unangemessenen Form erscheint, daß diese Wahrheit nur als ein Werden, als ein Proceß, Repulsion und Attraktion, nicht als das Seyn, wie es in einem Satze als ruhige Einheit gesetzt ist, zu fassen und auszudrücken ist. Es ist oben der Dialektik Plato's im Parmenides über die Ableitung des Vielen aus dem Eins, nämlich aus dem Satze: Eines ist, erwähnt und erinnert worden. Die innere Dialektik des Begriffes ist angegeben worden; am leichtesten ist die Dialektik des Satzes, daß Vieles Eines ist, als äußerliche Reflexion zu fassen; und äußerlich darf sie hier seyn, insofern auch der Gegenstand, die Vielen, das einander Aeußerliche ist. Diese Vergleichung der Vielen miteinander ergiebt sogleich, daß eines schlechthin nur bestimmt ist wie das Andere; jedes ist Eins, jedes ist Eins der Vielen, ist ausschließend die Anderen; - so daß sie schlechthin nur dasselbe sind, schlechthin nur Eine Bestimmung vorhanden ist. Es ist dieß das Faktum, und es ist nur darum zu thun, dieß einfache Faktum aufzufassen. Die Hartnäckigkeit des Verstandes weigert sich nur darum gegen dieses Auffassen, weil ihm auch der Unterschied, und zwar mit Recht, vorschwebt; aber dieser bleibt um jenes Faktums willen so wenig aus, als gewiß jenes Faktum ungeachtet des Unterschiedes existirt. Man könnte den Verstand damit für das schlichte Auffassen des Faktums der Einheit gleichsam trösten, daß der Unterschied auch wieder eintreten werde.

Anmerkung.

Attraktion und Repulsion pflegen bekanntlich als Kräfte angesehen zu werden. Diese ihre Bestimmung und die damit zusammenhängende Verhältnisse sind mit den Begriffen, die sich für sie ergeben haben, zu vergleichen. - In jener Vorstellung werden sie als selbstständig betrachtet, so daß sie sich nicht durch ihre Natur auf einander beziehen, d. h. daß nicht jede nur ein in ihre entgegengesetzte übergehendes Moment seyn, sondern fest der andern gegenüber beharren soll. Sie werden ferner vorgestellt, als in einem Dritten, der Materie, zusammenkommend; so jedoch, daß dieß In-Eins-Werden nicht als ihre Wahrheit gilt, sondern jede vielmehr ein Erstes und An-und-fürsich-Seyendes, die Materie aber oder Bestimmungen derselben durch sie gesetzt und hervorgebracht seyen. Wenn gesagt wird, daß die Materie die Kräfte in sich habe, so ist unter dieser ihrer Einheit eine Verknüpfung verstanden, wobei sie zugleich als in sich seyende frei von einander vorausgesetzt werden.

Kant hat bekanntlich die Materie aus der Repulsiv- und AttraktivKraft konstruirt oder wenigstens, wie er sich ausdrückt, die metaphysischen Elemente dieser Konstruction aufgestellt. - Es wird nicht ohne Interesse seyn, diese Konstruction näher zu beleuchten. Diese metaphysische Darstellung eines Gegenstandes, der nicht nur selbst, sondern in seinen Bestimmungen, nur der Erfahrung anzugehören schien, ist eines Theils dadurch merkwürdig, daß sie als ein Versuch des Begriffs wenigstens den Anstoß zur neueren Naturphilosophie gegeben hat, - der Philosophie, welche die Natur nicht als ein der Wahrnehmung sinnlich Gegebenes zum Grunde der Wissenschaft macht, sondern ihre Bestimmungen aus dem absoluten Begriffe erkennt; andern Theils auch, weil bei jener Kantischen Konstruktion noch häufig stehen geblieben und sie für einen philosophischen Anfang und Grundlage der Physik gehalten wird.

Eine solche Existenz, wie die sinnliche Materie, ist zwar nicht ein Gegenstand der Logik, eben so wenig als der Raum und Raumbestimmungen. Aber auch der Attraktiv- und Repulsiv-Kraft, sofern sie als Kräfte der sinnlichen Materie angesehen werden, liegen die hier betrachteten reinen Bestimmungen vom Eins und Vielen, und deren Beziehungen aufeinander, die ich Repulsion und Attraktion, weil diese Namen am nächsten liegen, genannt habe, zu Grunde.

Kants Verfahren in der Deduktion der Materie aus diesen Kräften, das er eine Konstruktion nennt, verdient, näher betrachtet, diesen Namen nicht, wenn nicht anders jede Art voll Reflexion, selbst die analysirende, eine Konstruktion genannt wird, wie denn freilich spätere Naturphilosophen auch das flachste Raisonnement und das grundloseste Gebräue einer willkürlichen Einbildungskraft und gedankenlosen Reflexion, - das besonders die sogenannten Faktoren der Attraktivkraft und Repulsivkraft gebrauchte und allenthalben vorbrachte, - ein Konstruiren genannt haben.

Kants Verfahren ist nämlich Im Grunde analytisch, nicht konstruirend. Er setzt die Vorstellung der Materie voraus, und fragt nun, welche Kräfte dazu gehören, um ihre vorausgesetzten Bestimmungen zu erhalten. So fordert er also eines Theils die Attraktivkraft darum, weil durch die Repulsion allein, ohne Attraktion, eigentlich keine Materie daseyn könnte. (Anfangsgr. der Naturwissensch. S. 53f.) Die Repulsion andern Theils, leitet er gleichfalls aus der Materie ab, und giebt als Grund derselben an, weil wir uns die Materie undurchdringlich vorstellen, indem diese nämlich dem Sinne des Gefühls, durch den sie sich uns offenbare, sich unter dieser Bestimmung präsentirt. Die Repulsion werde daher ferner sogleich im Begriffe der Materie gedacht, weil sie damit unmittelbar gegeben sey; die Attraktion dagegen werde derselben durch Schlüsse beigefügt. Auch diesen Schlüssen aber liegt das so eben Gesagte zu Grunde, daß eine Materie, die bloß Repulsivkraft hätte, das, was wir uns unter Materie vorstellen, nicht erschöpfte. - Dieß ist, wie erhellt, das Verfahren des über die Erfahrung reflektirenden Erkennens, das zuerst in der Erscheinung Bestimmungen wahrnimmt, diese nun zu Grunde legt, und für das sogenannte Erklären derselben entsprechende Grundstoffe oder Kräfte annimmt, welche jene Bestimmungen der Erscheinung hervorbringen sollen.

In Ansehung des angeführten Unterschieds, wie die Repulsivkraft und wie die Attraktivkraft von dem Erkennen in der Materie gefunden werde, bemerkt Kant weiter, daß die Attraktivkraft zwar eben sowohl zum Begriffe der Materie gehöre, ob sie gleich nicht darin enthalten sey. Kant zeichnet diesen letztern Ausdruck aus. Es ist aber nicht abzusehen, welcher Unterschied darin liegen soll; denn eine Bestimmung, die zum Begriffe einer Sache gehört, muß wahrhaftig darin enthalten seyn.

Was die Schwierigkeit macht und diese leere Ausflucht herbeiführt, besteht darin, daß Kant zum Begriffe der Materie von vorn herein einseitig nur die Bestimmung der Undurchdringlichkeit rechnet, die wir durch das Gefühl wahrnehmen sollen, weswegen die Repulsivkraft, als das Abhalten eines Anderen von sich, unmittelbar gegeben sey. Wenn aber ferner die Materie ohne Attraktivkraft nicht soll daseyn können, so liegt für diese Behauptung eine aus der Wahrnehmung genommene Vorstellung der Materie zu Grunde; die Bestimmung der Attraktion muß also gleichfalls in der Wahrnehmung anzutreffen seyn. Es ist auch wohl wahrzunehmen, daß die Materie außer ihrem Fürsichseyn, welches das Seyn-fur-Anderes aufhebt, (den Widerstand leistet), auch eine Beziehung des Fürsichseyenden aufeinander, räumliche Ausdehnung und Zusammenhalt, und in Starrheit, Festigkeit einen sehr festen Zusammenhalt hat. Die erklärende Physik erfordert zum Zerreißen u.s.f. eines Körpers eine Kraft, welche starker sey, als die Attraktion der Theile desselben gegeneinander. Aus dieser Wahrnehmung kann die Reflexion eben so unmittelbar die Attraktivkraft ableiten, oder sie als gegeben annehmen, als sie es mit der Repulsivkraft that. In der That, wenn die kantischen Schlüsse, aus denen die Attraktivkraft abgeleitet werden soll, betrachtet werden (der Beweis des Lehrsatzes: daß die Möglichkeit der Materie eine Anziehungskraft als zweite Grundkraft erfordere a. a. O.), so enthalten sie nichts, als daß durch die bloße Repulsion die Materie nicht räumlich seyn würde. Indem die Materie, als Raum erfüllend vorausgesetzt ist, ist ihr die Kontinuität zugeschrieben, als deren Grund die Anziehungskraft angenommen wird.

Wenn nun solche sogenannte Konstruktion der Materie höchstens ein analytisches Verdienst hätte, das noch durch die unreine Darstellung geschmälert würde, so ist der Grundgedanke immer sehr zu schätzen, die Materie aus diesen zwei entgegengesetzten Bestimmungen als ihren Grundkräften zu erkennen. Es ist Kant vornehmlich um die Verbannung der gemein-mechanischen Vorstellungsweise zu thun, die bei der einen Bestimmung, der Undurchdringlichkeit, der für-sich-seyenden Punktualität, stehen bleibt, und die entgegengesetzte Bestimmung, die Beziehung der Materie in sich oder mehrerer Materien, die wieder als besondere Eins angesehen werden, aufeinander, zu etwas Aeußerlichem macht; - die Vorstellungsweise, welche, wie Kant sagt, sonst keine bewegenden Kräfte, als nur durch Druck und Stoß, also nur durch Einwirkung von Aussen, einräumen will. Diese Aeußerlichkeit des Erkennens setzt die Bewegung immer schon als der Materie äußerlich vorhanden voraus, und denkt nicht daran, sie als etwas Innerliches zu fassen, und sie selbst in der Materie zu begreifen, welche eben damit für sich als bewegungslos und als träge angenommen wird. Dieser Standpunkt hat nur die gemeine Mechanik, nicht die immanente und freie Bewegung vor sich. - Indem Kant jene Aeußerlichkeit zwar insofern aufhebt, als er die Attraktion, die Beziehung der Materien auf einander, insofern diese als von einander getrennt angenommen werden, oder der Materie überhaupt in ihrem Außersichseyn, zu einer Kraft der Materie selbst macht, so bleiben jedoch auf der anderen Seite seine beiden Grundkräfte, innerhalb der Materie, äußerliche und für sich selbstständige gegen einander.

So nichtig der selbstständige Unterschied dieser beiden Kräfte, der ihnen vom Standpunkte jenes Erkennens beigelegt wird, war, ebenso nichtig muß sich jeder andere Unterschied, der in Ansehung ihrer Inhaltsbestimmung als etwas Festseyn-Sollendes gemacht wird, zeigen, weil sie, wie sie oben in ihrer Wahrheit betrachtet wurden, nur Momente sind, die in einander übergehen. - Ich betrachte diese fernern Unterschiedsbestimmunge, wie sie Kant angiebt.

Er bestimmt nämlich die Attraktivkraft als eine durchdringende Kraft, wodurch eine Materie auf die Theile der anderen auch über die Fläche der Berührung hinaus unmittelbar wirken könne, die Repulsivkraft dagegen als eine Flächenkraft, dadurch Materien nur in der gemeinschaftlichen Fläche der Berührung auf einander wirken können. Der Grund, der angeführt wird, daß die letztere nur eine Flächenkraft seyn soll, ist folgender: "Die einander berührenden Theile begrenzen einer den Wirkungsraum des andern, und die repulsive Kraft könne keinen entferntern Theil bewegen, ohne vermittelst der dazwischen liegenden; eine quer durch diese gehende unmittelbare Wirkung einer Materie auf eine andere durch Ausdehnungskräfte (das heißt hier Repulsivkräfte) sey unmöglich." (s. ebendas. Erklär. u. Zusätze S. 67.)

Es ist sogleich zu erinnern, daß, indem nähere oder entferntere Theile der Materie angenommen werden, in Rücksicht auf die Attraktion gleichfalls der Unterschied entstünde, daß ein Atom zwar auf ein anderes einwirkte, aber ein drittes Entfernteres, zwischen welchem und dem ersten Attrahirenden das Andere sich befände, zunächst in die Anziehungssphäre des dazwischen liegenden ihm Nähern träte, das Erste also nicht eine unmittelbare einfache Wirkung auf das Dritte ausüben würde; woraus sich eben so ein vermitteltes Wirken für die Attractivkraft, als für die Repulsivkraft ergehe; ferner müßte das wahre Durchdringen der Attraktivkraft allein darin bestehen, daß alle Theile der Materie an und für sich attrahirend wären, nicht aber eine gewisse Menge passiv und nur Ein Atom aktiv sich verhielte. - Unmittelbar oder in Rücksicht auf die Repulsivkraft selbst aber ist zu bemerken, daß in der angeführten Stelle sich berührende Theile, also eine Gediegenheit und Kontinuität einer fertigen Materie vorkommt, welche durch sich hindurch ein Repelliren nicht gestatte. Diese Gediegenheit der Materie aber, in welcher Theile sich berühren, nicht mehr durch das Leere getrennt sind, setzt das Aufgehobenseyn der Repulsivkraft bereits voraus; sich berührende Theile sind nach der hier herrschenden sinnlichen Vorstellung der Repulsion als solche zu nehmen, die sich nicht repelliren. Es folgt also ganz tautologisch, daß da, wo das Nichtseyn der Repulsion angenommen ist, keine Repulsion Statt finden kann. Daraus aber folgt nichts weiter für eine Bestimmung der Repulsivkraft. - Wird aber darauf reflektirt, daß berührende Theile sich nur insofern berühren, als sie sich noch außereinander halten, so ist eben damit die Repulsivkraft nicht bloß auf der Oberfläche der Materie, sondern innerhalb der Sphäre, welche nur Sphäre der Attraktion seyn sollte.

Weiter nimmt Kant die Bestimmung an, daß "durch die Anziehungskraft die Materie einen Raum nur einnehme, ohne ihn zu erfüllen;" (ebendas.) "weil die Materie durch die Anziehungskraft den Raum nicht erfülle, so könne diese durch den leeren Raum wirken, indem ihr keine Materie, die dazwischen läge, Grenzen setze." - Jener Unterschied ist ungefähr wie der obige beschaffen, wo eine Bestimmung zum Begriffe einer Sache gehören, aber nicht darin enthalten seyn sollte, so soll hier die Materie einen Raum nur einnehmen, ihn aber nicht erfüllen. Alsdenn ist es die Repulsion, wenn wir bei ihrer ersten Bestimmung stehen bleiben, durch welche sich die Eins abstossen und nur negativ, das heißt hier, durch den leeren Raum, sich aufeinander beziehen. Hier aber ist es die Attraktivkraft, welche den Raum leer erhält; sie erfüllt den Raum durch ihre Beziehung der Atome nicht, das heißt, sie erhält die Atome in einer negativen Beziehung auf einander. - Wir sehen, daß hier Kant bewußtlos das begegnet, was in der Natur der Sache liegt, daß er der Attraktivkraft gerade das zuschreibt, was er der ersten Bestimmung nach, der entgegengesetzten Kraft zuschrieb. Unter dem Geschäfte der Festsetzung des Unterschiedes beider Kräfte, war es geschehen, daß eine in die andere übergegangen war. - So soll dagegen durch die Repulsion die Materie einen Raum erfüllen, somit durch sie der leere Raum, den die Attraktivkraft läßt, verschwinden, In der That hebt sie somit, indem sie den leeren Raum aufhebt, die negative Beziehung der Atome oder Eins, d. h. die Repulsion derselben, auf; d. i. die Repulsion ist als das Gegentheil ihrer selbst bestimmt.

Zu dieser Verwischung der Unterschiede kommt noch die Verwirrung hinzu, daß, wie anfangs bemerkt worden, die Kantische Darstellung der entgegengesetzten Kräfte analytisch ist, und in dem ganzen Vortrage, die Materie, die erst aus ihren Elementen hergeleitet werden soll, bereits als fertig und konstituirt vorkommt. In der Definition der Flächen- und der durchdringenden Kraft werden beide als bewegende Kräfte angenommen, dadurch Materien auf die eine oder die andere Weise sollen wirken können. - Sie sind also hier als Kräfte dargestellt, nicht durch welche die Materie erst zu Stande käme, sondern wodurch sie, schon fertig, nur bewegt würde. Insofern aber von Kräften die Rede ist, wodurch verschiedene Materien auf einander einwirken und sich bewegen, so ist dieß etwas ganz anderes, als die Bestimmung und Beziehung, die sie als die Momente der Materie haben sollten.

Denselben Gegensatz, als Attraktiv- und Repulsivkraft machen in weiterer Bestimmung Centripetal- und Centrifugalkraft. Diese scheinen einen wesentlichen Unterschied zu gewähren, indem in ihrer Sphäre Ein Eins, ein Centrum, feststeht, gegen das sich die anderen Eins als nicht fürsichseyende verhalten, der Unterschied der Kräfte daher an diesen vorausgesetzten Unterschied Eines centralen Eins und der anderen als gegen dasselbe nicht feststehend angeknüpft werden kann. Insofern sie aber zur Erklärung gebraucht werden - zu welchem Behuf man sie, wie auch sonst die Repulsiv- und Attraktivkraft, in entgegengesetztem quantitativem Verhältniß annimmt, so daß die eine zunehme, wie die andere abnehme, so soll die Erscheinung der Bewegung, für deren Erklärung sie angenommen sind, und deren Ungleichheit erst aus ihnen resultiren. Man braucht aber nur die nächste beste Darstellung einer Erscheinung, z. B. die ungleiche Geschwindigkeit, die ein Planet in seiner Bahn um seinen Centralkörper hat, aus dem Gegensatze jener Kräfte, vor sich nehmen, so erkennt man bald die Verwirrung, die darin herrscht, und die Unmöglichkeit, die Größen derselben auseinander zu bringen, so daß immer eben so diejenige als zunehmend anzunehmen ist, welche in der Erklärung als abnehmend angenommen wird, und umgekehrt; was, um anschaulich gemacht zu werden, einer weitläufigern Exposition bedürfte, als hier gegeben werden könnte; aber das Nöthige kommt späterhin beim umgekehrten Verhältniß vor.

Anmerkung 1.

In der gewöhnlichen Vorstellung pflegen extensives und intensives Quantum so als Arten von Größen unterschieden zu werden, als ob es Gegenstände gäbe, die nur intensive, andere, die nur extensive Größe hätten. Ferner ist die Vorstellung einer philosophischen Naturwissenschaft hinzugekommen, welche das Mehrere, das Extensive, z. B. in der Grundbestimmung der Materie, einen Raum zu erfüllen, so wie in anderen Begriffen, in ein Intensives verwandelte, in dem Sinne, daß das Intensive, als das Dynamische die wahrhafte Bestimmung sey, und z. B. die Dichtigkeit oder specifische Raumerfüllung wesentlich nicht als eine gewisse Menge und Anzahl materieller Theile in einem Quantum Raum, sondern als ein gewisser Grad der raumerfüllenden Kraft der Materie gefaßt werden müsse.

Es sind hierbei zweierlei Bestimmungen zu unterscheiden. Bei dem, was man die Umwandlung der mechanischen Betrachtungsweise in die dynamische genannt hat, kommt der Begriff von außereinander bestehenden selbstständigen Theilen, die nur äußerlich in ein Ganzes verbunden sind, und der davon verschiedene Begriff von Kraft vor. Was in der Raumerfüllung einer Seits nur als eine Menge einander äußerlichen Atome angesehen wird, wird anderer Seits als die Aeußerung einer zu Grunde liegenden einfachen Kraft betrachtet. - Diese Verhältnisse voll Ganzen und Theilen, der Kraft und ihrer Aeußerung, die hier einander gegenüber treten, gehören aber noch nicht hierher, sondern werden weiterhin betrachtet werden. Soviel läßt sich sogleich erinnern, daß das Verhältniß von Kraft und ihrer Aeußerung, das dem Intensiven entspricht, zwar zunächst das wahrhaftere ist gegen das Verhältniß von Ganzen und Theilen; aber daß darum die Kraft nicht weniger einseitig als das Intensive, und die Aeußerung, die Aeußerlichkeit des Extensiven, ebenso untrennbar von der Kraft ist, so daß ein und derselbe Inhalt ebenso sehr in beiden Formen, des Intensiven und des Extensiven, vorhanden ist.

Die andere Bestimmtheit, die dabei vorkommt, ist die quantitative als solche, die als extensives Quantum aufgehoben und in den Grad, als die wahrhaft seyn sollende Bestimmung, verwandelt wird; es ist aber gezeigt worden, daß dieser ebenso die erstere enthält, so daß die eine Form für die andere wesentlich ist, somit jedes Daseyn seine Größebestimmung eben so sehr als extensives wie als intensives Quantum darstellt.

Als Beispiel hiervon dient daher alles, insofern es in einer Größebestimmung erscheint. Selbst die Zahl hat diese gedoppelte Form nothwendig unmittelbar an ihr. Sie ist eine Anzahl, insofern ist sie extensive Größe; aber sie ist auch Eins, ein Zehen, ein Hundert; insofern steht sie auf dem Uebergange zur intensiven Größe, indem in dieser Einheit das Vielfache in Einfaches zusammengeht. Eins ist extensive Größe an sich, es kann als eine beliebige Anzahl von Theilen vorgestellt werden. So das Zehnte, das Hundertste ist dieß Einfache, Intensive, das seine Bestimmtheit an dem außer ihm fallenden Mehrern d. i. am Extensiven hat. Die Zahl ist Zehen, Hundert, und zugleich die Zehnte, Hundertste im Zahlensystem; beides ist dieselbe Bestimmtheit.

Das Eins im Kreise heißt Grad, weil der Theil des Kreises wesentlich seine Bestimmtheit in dem Mehrern außer ihm hat, als eines nur einer geschlossenen Anzahl solcher Eins bestimmt ist. Der Grad des Kreises ist als bloße Raumgröße nur eine gewöhnliche Zahl; als Grad angesehen ist er die intensive Größe, die einen Sinn nur hat, als bestimmt durch die Anzahl von Graden, in die der Kreis getheilt ist, wie die Zahl überhaupt ihren Sinn nur hat in der Zahlenreihe.

Die Größe eines konkretern Gegenstandes stellt ihre gedoppelte Seite, extensiv und intensiv zu seyn, an den gedoppelten Bestimmungen seines Daseyns dar, in deren einer er als ein Aeußerliches, in der andern aber als ein Innerliches erscheint. So ist z. B. eine Masse als Gewicht, ein extensiv-Großes, insofern sie eine Anzahl von Pfunden, Centnern u.s.f. ausmacht; ein intensiv-Großes, insofern sie einen gewissen Druck ausübt; die Größe des Drucks ist ein Einfaches, ein Grad, der seine Bestimmtheit an einer Scale von Graden des Druckes hat. Als drückend erscheint die Masse als ein In-sich-seyn, als Subjekt, dem der intensive Größenunterschied zukommt. - Umgekehrt was diesen Grad des Drucks ausübt, ist vermögend, eine gewisse Anzahl von Pfunden u.s.f. von der Stelle zu bewegen, und mißt seine Größe hieran.

Oder die Wärme hat einen Grad; der Wärmegrad, er sey der l0te, 20ste u.s.f. ist eine einfache Empfindung, ein Subjektives. Aber dieser Grad ist eben so sehr vorhanden als extensive Größe, als die Ausdehnung einer Flüssigkeit, des Quecksilbers im Thermometer, der Luft oder des Thons u.s.f. Ein höherer Grad der Temperatur drückt sich aus als eine längere Quecksilbersäule, oder als ein schmälerer Thoncylinder; er erwärmt einen größern Raum auf dieselbe Weise als ein geringerer Grad nur den kleinern Raum.

Der höhere Ton ist als der intensivere, zugleich eine größere Menge von Schwingungen, oder ein lauterer Ton, dem ein höherer Grad zugeschrieben wird, macht sich in einem größern Raume hörbar. - Mit der intensivern Farbe läßt sich eine größere Fläche, als mit einer schwächern, auf gleiche Weise färben; oder das Hellere, eine andere Art von Intensität, ist weiter sichtbar als das weniger Helle u.s.f.

Eben so im Geistigen ist die hohe Intensität des Charakters, Talents, Genies, von eben so weitgreifendem Daseyn, ausgedehnter Wirkung und vielseitiger Berührung. Der tiefste Begriff hat die allgemeinste Bedeutung und Anwendung.

Anmerkung 2.

Kant hat einen eigenthümlichen Gebrauch von der Anwendung der Bestimmtheit des intensiven Quantums auf eine metaphysische Bestimmung der Seele gemacht. In der Kritik der metaphysischen Sätze von der Seele, die er Paralogismen der reinen Vernunft nennt, kommt er auf die Betrachtung des Schlusses von der Einfachheit der Seele auf die Beharrlichkeit derselben. Er setzt diesem Schlusse entgegen, (Kr. d. r. Vern. S. 414), "daß, wenn wir gleich der Seele diese einfache Natur einräumen, da sie nämlich kein Mannigfaltiges außer einander, mithin keine extensive Größe enthält, man ihr doch so wenig wie irgend einem Existirenden, intensive Größe, d. i. einen Grad der Realität in Ansehung aller ihrer Vermögen, ja überhaupt alles dessen, was das Daseyn ausmacht, abläugnen könne, welcher durch alle unendlich viele kleinere Grade abnehmen, und so die vorgebliche Substanz obgleich nicht durch Vertheilung, doch durch allmälige Nachlassung (remissio) ihrer Kräfte, in nichts verwandelt werden könne; denn selbst das Bewußtseyn hatjederzeit einen Grad, der immer noch vermindert werden kann, folglich auch das Vermögen sich seiner bewußt zu seyn, und so alle übrige Vermögen." - Die Seele wird in der rationellen Psychologie, wie diese abstrakte Metaphysik war, nicht als Geist, sondern als ein nur unmittelbar Seyendes, als Seelending betrachtet. So hat Kant das Recht, die Kategorie des Quantums, "wie auf irgend ein Existirendes" und insofern dieß Seyende als einfach bestimmt ist, die des intensiven Quantums auf dasselbe anzuwenden. Dem Geiste kommt allerdings Seyn zu, aber von ganz anderer Intensität, als die des intensiven Quantums ist, vielmehr einer solchen Intensität, in welcher die Form des nur unmittelbaren Seyns und alle Kategorie desselben als aufgehoben sind. Es war nicht nur die Entfernung der Kategorie des extensiven Quantums zuzugeben, sondern die des Quantums überhaupt zu entfernen. Ein Weiteres aber ist noch, zu erkennen, wie in der ewigen Natur des Geistes Daseyn, Bewußtseyn, Endlichkeit ist und daraus hervorgeht, ohne daß er dadurch ein Ding würde.

Anmerkung 1.

Die schlechte Unendlichkeit pflegt vornehmlich in der Form des Progresses des Quantitativen ins Unendliche, - dieß fortgehende Ueberfliegen der Grenze, das die Ohnmacht ist, sie aufzuheben, und der perennirende Rückfall in dieselbe, - für etwas Erhabenes und für eine Art von Gottesdienst gehalten zu werden, so wie derselbe in der Philosophie als ein Letztes angesehen worden ist. Dieser Progreß hat vielfach zu Tiraden gedient, die als erhabene Produktionen bewundert worden sind. In der That aber macht diese moderne Erhabenheit nicht den Gegenstand groß, welcher vielmehr entflieht, sondern nur das Subjekt, das so große Quantitäten in sich verschlingt. Die Dürftigkeit dieser subjektiv bleibenden Erhebung, die an der Leiter des Quantitativen hinaufsteigt, thut sich selbst damit kund, daß sie in vergeblicher Arbeit dem unendlichen Ziele nicht näher zu kommen eingesteht, welches zu erreichen freilich ganz anders anzugreifen ist.

Bei folgenden Tiraden dieser Art ist zugleich ausgedrückt, in was solche Erhebung übergeht und aufhört. Kant z. B. führt es als erhaben auf, (Kr. d. prakt. V. Schl.)

"wenn das Subjekt mit dem Gedanken sich über den Platz erhebt, den es in der Sinnenwelt einnimmt, und die Verknüpfung ins unendlich Große erweitert, eine Verknüpfung mit Sternen über Sternen, mit Welten über Welten, Systemen über Systemen, überdem noch in grenzenlose Zeiten ihrer periodischen Bewegung, deren Anfang und Fortdauer. - Das Vorstellen erliegt diesem Fortgehen ins Unermeßlich-Ferne, wo die fernste Welt immer noch eine fernere hat, die so weit zurückgeführte Vergangenheit noch eine weitere hinter sich, die noch so weit hinausgeführte Zukunft immer noch eine andere vor sich; der Gedanke erliegt dieser Vorstellung des Unermeßlichen; wie ein Traum, daß einer einen langen Gang immer weiter und unabsehbar weiter fortgehe, ohne ein Ende abzusehen, mit Fallen oder mit Schwindel endet."

Diese Darstellung, außerdem daß sie den Inhalt des quantitativen Erhebens in einen Reichthum der Schilderung zusammendrängt, verdient wegen der Wahrhaftigkeit vornehmlich Lob, mit der sie es angiebt, wie es dieser Erhebung am Ende ergeht: der Gedanke erliegt, das Ende ist Fallen und Schwindel. Was den Gedanken erliegen macht, und das Fallen desselben und den Schwindel hervorbringt, ist nichts anderes, als die Langeweile der Wiederholung, welche eine Grenze verschwinden und wieder auftreten und wieder verschwinden, so immer das eine um das andere, und eins im andern, in dem Jenseits das Diesseits, in dem Diesseits das Jenseits perennierend entstehen und vergehen läßt, und nur das Gefühl der Ohnmacht dieses Unendlichen oder dieses Sollens giebt, das über das Endliche Meister werden will und nicht kann.

Auch die hallersche, von Kant sogenannte schauderhafte Beschreibung der Ewigkeit pflegt besonders bewundert zu werden, aber oft gerade nicht wegen derjenigen Seite, die das wahrhafte Verdienst derselben ausmacht:

Wenn auf jenes Aufbürgen und Aufthürmen von Zahlen und Welten als auf eine Beschreibung der Ewigkeit der Werth gelegt wird, so wird übersehen, daß der Dichter selbst dieses sogenannte schauderhafte Hinausgehen für etwas Vergebliches und Hohles erklärt, und daß er damit schließt, daß nur durch das Aufgeben dieses leeren unendlichen Progresses das wahrhafte Unendliche selbst zur Gegenwart vor ihn komme.

Es hat Astronomen gegeben, die sich auf das Erhabene ihrer Wissenschaft gern darum viel zu Gute thaten, weil sie mit einer unermeßlichen Menge von Sternen, mit so unermeßlichen Räumen und Zeiten zu thun habe, in denen Entfernungen und Perioden, die für sich schon groß sind, zu Einheiten dienen, welche noch so vielmal genommen, sich wieder zur Unbedeutenheit verkürzen. Das schaale Erstaunen, dem sie sich dabei überlassen, die abgeschmackten Hoffnungen, erst noch in jenem Leben von einem Sterne zum anderen zu reisen und ins Unermeßliche fort dergleichen neue Kenntnisse zu erwerben, gaben sie für ein Hauptmoment der Vortreflichkeit ihrer Wissenschaft aus, - welche bewundernswürdig ist, nicht um solcher quantitativen Unendlichkeit willen, sondern im Gegentheil um der Maaßverhältnisse und der Gesetze willen, welche die Vernunft in diesen Gegenständen erkennt, und die das vernünftige Unendliche gegen jene unvernünftige Unendlichkeit sind.

Der Unendlichkeit, die sich auf die äußere sinnliche Anschauung bezieht, setzt Kant die andere Unendlichkeit gegenüber, wenn

"das Individuum auf sein unsichtbares Ich zurückgeht, und die absolute Freiheit seines Willens als ein reines Ich allen Schrecken des Schicksals und der Thyrannei entgegenstellt, von seinen nächsten Umgebungen anfangend, sie für sich verschwinden, eben so das, was als dauernd erscheint, Welten über Welten in Trümmer zusammenstürzen läßt, und einsam sich als sich selbst gleich erkennt."

Ich in dieser Einsamkeit mit sich ist zwar das erreichte Jenseits, es ist zu sich selbst gekommen, ist bei sich, diesseits; im reinen Selbstbewußtseyn ist die absolute Negativität zur Affirmation und Gegenwart gebracht, welche in jenem Fortgehen über das sinnliche Quantum nur flieht. Aber indem dieß reine Ich in seiner Abstraktion und Inhaltslosigkeit sich fixirt, hat es das Daseyn überhaupt, die Fülle des natürlichen und geistigen Universums, als ein Jenseits sich gegenüber. Es stellt sich derselbe Widerspruch dar, der dem unendlichen Progresse zu Grunde liegt; nämlich ein Zurückgekehrtseyn in sich, das unmittelbar zugleich Außersichseyn, Beziehung auf sein Anderes als auf sein Nichtseyn, ist; welche Beziehung eine Sehnsucht bleibt, weil Ich sich seine gehaltlose und unhaltbare Leere einer Seits, und die in der Negation doch präsent bleibende Fülle als sein Jenseits fixirt hat.

Kant fügt diesen beiden Erhabenheiten die Bemerkung bei, "daß Bewunderung (für die erstere, äußerliche) und Achtung (für die zweite, innerliche) Erhabenheit, zwar zur Nachforschung reizen, aber den Mangel derselben nicht ersetzen können". - Er erklärt damit jene Erhebungen als unbefriedigend für die Vernunft, welche bei ihnen und den damit verbundenen Empfindungen nicht stehen bleiben, und das Jenseits und Leere nicht für das Letzte gelten lassen kann.

Als ein Letztes aber ist der unendliche Progreß vornehmlich in seiner Anwendung auf die Moralität genommen worden. Der so eben angeführte zweite Gegensatz des Endlichen und Unendlichen, als der mannigfaltigen Welt und des in seine Freiheit erhobenen Ichs, ist zunächst qualitativ. Das Selbstbestimmen des Ich geht zugleich darauf, die Natur zu bestimmen und sich von ihr zu befreien; so bezieht es sich durch sich selbst auf sein Anderes, welches als äußerliches Daseyn ein Vielfältiges und auch Quantitatives ist. Die Beziehung auf ein Quantitatives wird selbst quantitativ; die negative Beziehung des Ich darauf, die Macht des Ich über das Nicht-Ich, über die Sinnlichkeit und äußere Natur, wird daher so vorgestellt, daß die Moralität immer größer, die Macht der Sinnlichkeit aber immer kleiner werden könne und solle. Die völlige Angemessenheit aber des Willens zum moralischen Gesetze wird in den ins Unendliche gehenden Progreß verlegt, das heißt, als ein absolutes unerreichbares Jenseits vorgestellt, und eben dieß solle der wahre Anker und der rechte Trost seyn, daß es ein Unerreichbares ist; denn die Moralität soll als Kampf seyn; dieser aber ist nur unter der Unangemessenheit des Willens zum Gesetze, dieses damit schlechthin ein Jenseits für ihn.

In diesem Gegensatze werden Ich und Nicht-Ich oder der reine Wille und das moralische Gesetz, und die Natur und Sinnlichkeit des Willens als vollkommen selbstständig und gleichgültig gegeneinander vorausgesetzt. Der reine Wille hat sein eigenthümliches Gesetz, das in wesentlicher Beziehung auf die Sinnlichkeit steht; und die Natur und Sinnlichkeit hat ihrer Seits Gesetze, die weder aus dem Willen genommen und ihm entsprechend sind, noch auch nur, wenn gleich verschieden davon, an sich eine wesentliche Beziehung auf ihn hätten, sondern sie sind überhaupt für sich bestimmt, in sich fertig und geschlossen. Zugleich sind beide aber Momente eines und desselben einfachen Wesens, des Ich; der Wille ist als das Negative gegen die Natur bestimmt, so daß er nur ist, insofern ein solches von ihm verschiedenes ist, das von ihm aufgehoben werde, von dem er aber hierin berührt und selbst afficirt ist. Der Natur und ihr als Sinnlichkeit des Menschen ist als einem selbstständigen System von Gesetzen das Beschränken durch ein anderes gleichgültig; sie erhält sich in diesem Begrenztwerden, tritt selbstständig in die Beziehung ein, und begrenzt den Willen des Gesetzes eben so sehr, als er sie begrenzt. - Es ist Ein Act, daß der Wille sich bestimmt und das Andersseyn einer Natur aufhebt, und daß dieß Andersseyn als daseyend gesetzt ist, sich in sein Aufgehobenwerden kontinuirt, und nicht aufgehoben ist. Der Widerspruch, der hierin liegt, wird im unendlichen Progresse nicht aufgelöst, sondern im Gegentheil als unaufgelöst und unauflösbar dargestellt und behauptet; der Kampf der Moralität und der Sinnlichkeit wird vorgestellt, als das an und für sich seyende, absolute Verhältniß.

Die Ohnmacht über den qualitativen Gegensatz des Endlichen und Unendlichen Meister zu werden und die Idee des wahrhaften Willens, die substantielle Freiheit, zu fassen, nimmt zur Größe ihre Zuflucht, um sie als die Mittlerin zu gebrauchen, weil sie das aufgehobene Qualitative, der gleichgültig gewordene Unterschied, ist. Allein indem beide Glieder des Gegensatzes als qualitativ verschieden zu Grunde liegen bleiben, so wird vielmehr dadurch, daß sie sich in ihrer gegenseitigen Beziehung als Quanta verhalten, jedes sogleich als gegen diese Veränderung gleichgültig gesetzt. Die Natur wird durch Ich, die Sinnlichkeit durch den Willen des Guten bestimmt, die durch denselben an ihr hervorgebrachte Veränderung ist nur ein quantitativer Unterschied, ein solcher, der sie als das bestehen läßt, was sie ist.

In der abstraktern Darstellung der kantischen Philosophie oder wenigstens ihrer Principien, nämlich in der fichteschen Wissenschaftslehre, macht der unendliche Progreß auf dieselbe Weise die Grundlage und das Letzte aus. Auf den ersten Grundsatz dieser Darstellung, Ich=Ich, folgt ein zweiter davon unabhängiger, die Entgegensetzung des Nicht-Ich; die Beziehung beider wird sogleich auch als quantitativer Unterschied angenommen, daß Nicht-Ich zum Theil durch Ich bestimmt werde, zum Theil auch nicht. Das Nicht-Ich kontinuirt sich auf diese Weise in sein Nichtseyn so, daß es seinem Nichtseyn entgegengesetzt bleibt, als ein nicht Aufgehobenes. Nachdem daher die Widersprüche, die darin liegen, im System entwickelt worden sind, so ist das schließliche Resultat dasjenige Verhältniß, welches der Anfang war; das Nicht-Ich bleibt ein unendlicher Anstoß, ein absolut-Anderes; die letzte Beziehung seiner und des Ich aufeinander ist der unendliche Progreß, Sehnsucht und Streben, - derselbe Widerspruch, mit welchem angefangen wurde.

Weil das Quantitative die als aufgehoben gesetzte Bestimmtheit ist, so glaubte man für die Einheit des Absoluten, für die Eine Substantialität, Viel oder vielmehr Alles gewonnen zu haben, indem man den Gegensatz überhaupt zu einem nur quantitativen Unterschiede herabsetzte. Aller Gegensatz ist nur quantitativ, war einige Zeit ein Hauptsatz neuerer Philosophie; die entgegengesetzten Bestimmungen haben dasselbe Wesen, denselben Inhalt, sie sind reale Seiten des Gegensatzes, insofern jede derselben seine beiden Bestimmungen, beide Faktoren, in ihr hat, nur daß auf der einen Seite der eine Faktor, auf der anderen der andere überwiegend, in der einen Seite der eine Faktor, eine Materie oder Thätigkeit, in größerer Menge oder in stärkerem Grade vorhanden sey, als in der andern. Insofern verschiedene Stoffe oder Thätigkeiten vorausgesetzt werden, bestätigt und vollendet der quantitative Unterschied vielmehr deren Aeußerlichkeit und Gleichgültigkeit gegeneinander und gegen ihre Einheit. Der Unterschied der absoluten Einheit soll nur quantitativ seyn; das Quantitative ist zwar die aufgehobene unmittelbare Bestimmtheit, aber die nur unvollkommene, erst die erste Negation, nicht die unendliche, nicht die Negation der Negation. - Indem Seyn und Denken als quantitative Bestimmungen der absoluten Substanz vorgestellt werden, werden auch sie, als Quanta, wie in untergeordneter Sphäre, der Kohlenstoff, Stickstoff u.s.f. sich vollkommen äußerlich und beziehungslos. Es ist ein Drittes, eine äußerliche Reflexion, welche von ihrem Unterschiede abstrahirt, und ihre innere, nur ansichseyende, nicht ebenso für-sich-seyende, Einheit erkennt. Diese Einheit, wird dann in der That nur als erste unmittelbare vorgestellt, oder nur als Seyn, welches in seinem quantitativen Unterschiede sich gleich bleibt, aber nicht sich durch sich selbst gleich setzt; es ist somit nicht begriffen, als Negation der Negation, als unendliche Einheit. Nur im qualitativen Gegensatze geht die gesetzte Unendlichkeit, das Fürsichseyn, hervor, und die quantitative Bestimmung selbst geht, wie sich sogleich näher ergeben wird, in das Qualitative über.

Anmerkung 2.

Es ist oben erinnert worden, daß die kantischen Antinomien Darstellungen des Gegensatzes des Endlichen und Unendlichen, in einer konkreteren Gestalt, auf speciellere Substrate der Vorstellung angewendet, sind. Die daselbst betrachtete Antinomie enthielt den Gegensatz der qualitativen Endlichkeit und Unendlichkeit. In einer andern, der ersten der vier kosmologischen Antinomien, ist es mehr die quantitative Grenze, die in ihrem Widerstreite betrachtet wird. Ich will die Untersuchung dieser Antinomie daher hier anstellen.

Sie betrifft die Begrenztheit oder Unbegrenztheit der Welt in Zeit und Raum. - Es konnte eben so gut dieser Gegensatz auch in Rücksicht auf Zeit und Raum selbst betrachtet werden, denn ob Zeit und Raum Verhältnisse der Dinge selbst, oder aber nur Formen der Anschauung sind, ändert nichts für das Antinomische der Begrenztheit oder Unbegrenztheit in ihnen.

Die nähere Auseinanderlegung dieser Antinomie wird gleichfalls zeigen, daß die beiden Sätze und eben so ihre Beweise, die wie bei der oben betrachteten apogogisch geführt sind, auf nichts, als auf die zwei einfachen, entgegengesetzten Behauptungen hinauslaufen: es ist eine Grenze, und: es muß über die Grenze hinausgegangen werden.

Die Thesis ist:

"Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raume nach auch in Grenzen eingeschlossen."

Der eine Theil des Beweises, die Zeit betreffend, nimmt das Gegentheil an, "die Welt habe der Zeit nach keinen Anfang, so ist bis zu jedem gegebenen Zeitpunkt eine Ewigkeit abgelaufen, und mithin eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Welt verflossen. Nun besteht aber eben darin die Unendlichkeit einer Reihe, daß sie durch successive Synthesis niemals vollendet seyn kann. Also ist eine unendliche verflossene Weltreihe unmöglich, mithin ein Anfang der Welt eine nothwendige Bedingung ihres Daseyns; welches zu erweisen war."

Der andere Theil des Beweises, der den Raum betrifft, wird auf die Zeit zurückgeführt. Das Zusammenfassen der Theile einer im Raume unendlichen Welt erforderte eine unendliche Zeit, welche als abgelaufen angesehen werden müßte, insofern die Welt im Raume nicht als ein Werdendes, sondern als ein vollendetes Gegebenes anzusehen ist. Von der Zeit aber wurde im ersten Theile des Beweises gezeigt, daß eine unendliche Zeit als abgelaufen anzunehmen unmöglich sey.

Man sieht aber sogleich, daß es unnöthig war, den Beweis apagogisch zu machen, oder überhaupt einen Beweis zu führen, indem in ihm selbst unmittelbar die Behauptung dessen zu Grunde liegt, was bewiesen werden sollte. Es wird nämlich irgend ein oder jeder gegebene Zeitpunkt angenommen, bis zu welchem eine Ewigkeit (- Ewigkeit hat hier nur den geringen Sinii einer schlecht-unendlichen Zeit) abgelaufen sey. Ein gegebener Zeitpunkt heißt nun nichts Anders, als eine bestimmte Grenze in der Zeit. Im Beweise wird also eine Grenze der Zeit als wirklich vorausgesetzt; sie ist aber eben das, was bewiesen werden sollte. Denn die Thesis besteht darin, daß die Welt einen Anfang in der Zeit habe.

Nur der Unterschied findet Statt, daß die angenommene Zeitgrenze ein Jetzt, als Ende der vorher verflossenen, die zu beweisende aber Jetzt als Anfang einer Zukunft ist. Allein dieser Unterschied ist unwesentlich. Jetzt wird als der Punkt angenommen, in welchem eine unendliche Reihe auf einander folgender Zustände der Dinge in der Zeit verflossen seyn soll, also als Ende, als qualitative Grenze. Würde dieß Jetzt nur als quantitative Grenze betrachtet, welche fließend und über die nicht nur hinaus zu gehen sondern die vielmehr nur dieß sey, über sich hinauszugehen, so wäre die unendliche Zeitreihe in ihr nicht verflossen, sondern führe fort zu fließen, und das Raisonnement des Beweises fiele weg. Dagegen ist der Zeitpunkt als qualitative Grenze für die Vergangenheit angenommen, aber ist so zugleich Anfang für die Zukunft, - denn an sich ist jeder Zeitpunkt die Beziehung der Vergangenheit und der Zukunft, - auch ist er absoluter d. h. abstrakter Anfang für dieselbe, d. i. das, was bewiesen werden sollte. Es thut nichts zur Sache, daß vor seiner Zukunft und diesem ihrem Anfange schon eine Vergangenheit ist; indem dieser Zeitpunkt qualitative Grenze ist, - und als qualitative ihn anzunehmen, liegt in der Bestimmung des Vollendeten, Abgelaufenen, also sich nicht Kontinuirenden, - so ist die Zeit in ihm abgebrochen, und jene Vergangenheit, ohne Beziehung auf diejenige Zeit, welche nur Zukunft in Rücksicht auf diese Vergangenheit genannt werden konnte, und daher ohne solche Beziehung nur Zeit überhaupt ist, die einen absoluten Anfang hat. Stünde sie aber, - (wie sie es denn tut -) durch das Jetzt, den gegebenen Zeitpunkt, in einer Beziehung auf die Vergangenheit, wäre sie somit als Zukunft bestimmt, so wäre auch dieser Zeitpunkt von der anderen Seite keine Grenze, die unendliche Zeitreihe kontinuirte sich in dem, was Zukunft hieß, und wäre nicht, wie angenommen worden, vollendet.

In Wahrheit ist die Zeit reine Quantität; der im Beweise gebrauchte Zeitpunkt, in welchem sie unterbrochen seyn sollte, ist vielmehr nur das sich selbst aufhebende Fürsichseyn des Jetzt. Der Beweis leistet nichts, als daß er die in der Thesis behauptete absolute Grenze der Zeit als einen gegebenen Zeitpunkt vorstellig macht und ihn als vollendeten, d. i. abstrakten Punkt, geradezu annimmt, - eine populare Bestimmung, welche das sinnliche Vorstellen leicht als eine Grenze passiren, somit im Beweise dieß als Annahme gelten läßt, was vorher als das zu Beweisende aufgestellt wurde.

Die Antithesis heißt:

"Die Welt hat keinen Anfang und keine Grenzen im Raume, sondern ist sowohl in Ansehung der Zeit als des Raumes unendlich."

Der Beweis setzt gleichfalls das Gegentheil:

"Die Welt habe einen Anfang. Da der Anfang ein Daseyn ist, wovor eine Zeit vorhergeht, darin das Ding nicht ist, so muß eine Zeit vorhergegangen seyn, darin die Welt nicht war, d. i. eine leere Zeit. Nun ist aber in einer leeren Zeit kein Entstehen irgend eines Dings möglich; weil kein Theil einer solchen Zeit vor einem anderen irgend eine unterscheidende Bedingung des Daseyns vor der des Nichtdaseyns an sich hat. Also kann zwar in der Welt manche Reihe der Dinge anfangen, die Welt selbst aber keinen Anfang nehmen, und ist in Ansehung der vergangenen Zeit unendlich."

Dieser apogogische Beweis enthält, wie die andern, die direkte und unbewiesene Behauptung dessen, was er beweisen sollte. Er nimmt neihlich zuerst ein Jenseits des weltlichen Daseyns, eine leere Zeit, an; aber kontinuirt alsdann auch das weltliche Daseyn ebenso sehr über sich hinaus in diese leere Zeit hinein, hebt diese dadurch auf, und setzt somit das Daseyn ins Unendliche fort. Die Welt ist ein Daseyn; der Beweis setzt voraus, daß dieß Daseyn entstehe, und das Entstehen eine in der Zeit vorhergehende Bedingung habe. Darin aber eben besteht die Antithesis selbst, daß es kein unbedingtes Daseyn, keine absolute Grenze gebe, sondern das weltliche Daseyn immer eine vorhergehende Bedingung fordere. Das zu Erweisende findet sich somit als Annahme in dem Beweise. - Die Bedingung wird dann ferner in der leeren Zeit gesucht, was so viel heißt, als daß sie als zeitlich und somit als Daseyn, und Beschränktes angenommen wird. Ueberhaupt also ist die Annahme gemacht, daß die Welt als Daseyn ein anderes bedingtes Daseyn in der Zeit voraussetze und hiermit sofort ins Unendliche.

Der Beweis in Ansehung der Unendlichkeit der Welt im Raume ist dasselbe. Apogogischer Weise wird die räumliche Endlichkeit der Welt gesetzt; "diese befände sich somit in einem leeren unbegrenzten Raume, und hätte ein Verhältniß zu ihm; ein solches Verhältniß der Welt zu keinem Gegenstande aber ist Nichts."

Was bewiesen werden sollte, ist hier ebenso im Beweise direkt vorausgesetzt. Es wird direkt angenommen, daß die begrenzte räumliche Welt sich in einem leeren Raume befinden und ein Verhältniß zu ihm haben sollte, das heißt, daß über sie hinausgegangen werden müsse, - einer Seits in das Leere, in das Jenseits und Nichtseyn derselben, anderer Seits aber daß sie damit im Verhältniß stehe, d. i. sich darein hinein kontinuire, das Jenseits hiermit mit weltlichem Daseyn erfüllt vorzustellen sey. Die Unendlichkeit der Welt im Raume, die in der Antithesis behauptet wird, ist nichts anderes, als einer Seits der leere Raum, anderer Seits das Verhältniß der Welt zu ihm, das heißt Kontinuität derselben in ihm, oder die Erfüllung desselben; welcher Widerspruch, der Raum zugleich als leer und zugleich als erfüllt, der unendliche Progreß des Daseyns im Raume ist. Dieser Widerspruch selbst, das Verhältniß der Welt zum leeren Raume, ist im Beweise direkt zur Grundlage gemacht.

Die Thesis und Antithesis und die Beweise derselben stellen daher nichts dar, als die entgegengesetzten Behauptungen, daß eine Grenze ist, und daß die Grenze eben so sehr nur eine aufgehobene ist; daß die Grenze ein Jenseits hat, mit dem sie aber in Beziehung steht, wohin über sie hinauszugehen ist, worin aber wieder eine solche Grenze entsteht, die keine ist.

Die Auflösung dieser Antinomien ist, wie die der obigen, transcendental, das heißt, sie besteht in der Behauptung der Idealität des Raums und der Zeit, als Formen der Anschauung, in dem Sinne, daß die Welt an ihr selbst nicht im Widerspruch mit sich, nicht ein sich Aufhebendes, sondern nur das Bewußtseyn in seinem Anschauen und in der Beziehung der Anschauung auf Verstand und Vernunft, ein sich selbst widersprechendes Wesen sey. Es ist dieß eine zu große Zärtlichkeit für die Welt, von ihr den Widerspruch zu entfernen, ihn dagegen in den Geist, in die Vernunft, zu verlegen und darin unaufgelöst bestehen zu lassen. In der That ist es der Geist, der so stark ist, den Widerspruch ertragen zu können, aber er ist es auch, der ihn aufzulösen weiß. Die sogenannte Welt aber (sie heiße objektive, reale Welt, oder nach dem transcendentalen Idealismus subjektives Anschauen, und durch die Verstandes-Kategorie bestimmte Sinnlichkeit), entbehrt darum des Widerspruchs nicht und nirgends, vermag ihn aber nicht zu ertragen und ist darum dem Entstehen und Vergehen preisgegeben.

Anmerkung 1.
Die Begriffsbestimmtheit des mathematischen Unendlichen.

Das mathematische Unendliche ist eines Theils interessant durch die Erweiterung der Mathematik und die großen Resultate, welche seine Einführung in dieselbe hervorgebracht hat; andern Theils aber ist es dadurch merkwürdig, daß es dieser Wissenschaft noch nicht gelungen ist, sich über den Gebrauch desselben durch den Begriff (Begriff im eigentlichen Sinne genommen) zu rechtfertigen. Die Rechtfertigungen beruhen am Ende auf der Richtigkeit der mit Hülfe jener Bestimmung sich ergebenden Resultate, welche aus sonstigen Gründen erwiesen ist; nicht aber auf der Klarheit des Gegenstandes und der Operation, durch welche die Resultate herausgebracht werden, sogar daß die Operation vielmehr selbst als unrichtig zugegeben wird.

Dieß ist schon ein Mißstand an und für sich; ein solches Verfahren ist unwissenschaftlich. Es führt aber auch den Nachtheil mit sich, daß die Mathematik, indem sie die Natur dieses ihres Instruments nicht kennt, weil sie mit der Metaphysik und Kritik desselben nicht fertig ist, den Umfang seiner Anwendung nicht bestimmen, und von Misbräuchen desselben sich nicht sichern konnte.

In philosophischer Rücksicht aber ist das mathematische Unendliche darum wichtig, weil ihm in der That der Begriff des wahrhaften Unendlichen zu Grunde liegt und es viel höher steht, als das gewöhnlich sogenannte metaphysische Unendliche, von dem aus die Einwürfe gegen ersteres gemacht werden. Gegen diese Einwürfe weiß sich die Wissenschaft der Mathematik häufig nur dadurch zu retten, daß sie die Kompetenz der Metaphysik verwirft, indem sie behauptet, mit dieser Wissenschaft nichts zu schaffen und sich um deren Begriffe nicht zu bekümmern zu haben, wenn sie nur auf ihrem eigenen Boden konsequent verfahre. Sie habe nicht zu betrachten, was an sich, sondern was auf ihrem Felde das Wahre sey. Die Metaphysik weiß die glänzenden Resultate des Gebrauchs des mathematischen Unendlichen bei ihrem Widerspruche gegen dasselbe nicht zu läugnen oder umzustoßen, und die Mathematik weiß mit der Metaphysik ihres eigenen Begriffs und daher auch mit der Ableitung der Verfahrensweisen, die der Gebrauch des Unendlichen nöthig macht, nicht ins Reine zu kommen.

Wenn es die einzige Schwierigkeit des Begriffs überhaupt wäre, von der die Mathematik gedrückt würde, so könnte sie diesen ohne Umstände auf der Seite liegen lassen, insofern nämlich der Begriff mehr ist, als nur die Angabe der wesentlichen Bestimmtheiten, d. i. der Verstandesbestimmungen einer Sache, und an der Schärfe dieser Bestimmtheiten hat sie es nicht fehlen lassen; denn sie ist nicht eine Wissenschaft, die es mit den Begriffen ihrer Gegenstände zu thun, und durch die Entwickelung des Begriffs, wenn auch nur durch Raisonnement, ihren Inhalt zu erzeugen hätte. Allein bei der Methode ihres Unendlichen findet sie den Hauptwiderspruch an der eigenthümlichen Methode selbst, auf welcher sie überhaupt als Wissenschaft beruht. Denn die Rechnung des Unendlichen erlaubt und erfordert Verfahrungsweisen, welche die Mathematik bei Operationen mit endlichen Größen durchaus verwerfen muß, und zugleich behandelt sie ihre unendlichen Größen, wie endliche Quanta, und will auf jene dieselben Verfahrungsweisen anwenden, welche bei diesen gelten; es ist eine Hauptseite der Ausbildung dieser Wissenschaft, für die transcendenten Bestimmungen und deren Behandlung, die Form des gewöhnlichen Kalkuls gewonnen zu haben.

Die Mathematik zeigt bei diesem Widerstreite ihrer Operationen, daß Resultate, die sie dadurch findet, ganz mit denen übereinstimmen, welche durch die eigentlich mathematische, die geometrische und analytische, Methode gefunden werden. Aber Theils betrifft dieß nicht alle Resultate, und der Zweck der Einführung des Unendlichen ist nicht allein, den gewöhnlichen Weg abzukürzen, sondern zu Resultaten zu gelangen, die durch diesen nicht geleistet werden können. Theils rechtfertigt der Erfolg die Manier des Wegs nicht für sich. Diese Manier aber der Rechnung des Unendlichen zeigt sich durch den Schein der Ungenauigkeit gedrückt, den sie sich giebt, indem sie endliche Größen um eine unendlich kleine Größe das eine Mal vermehrt, diese in der fernern Operation zum Theil beibehält, aber einen Theil derselben auch vernachlässigt. Dieß Verfahren enthält die Sonderbarkeit, daß der eingestandenen Ungenauigkeit unerachtet, ein Resultat herauskommt, das nicht nur ziemlich und so nahe, daß der Unterschied außer Acht gelassen werden könnte, sondern vollkommen genau ist. In der Operation selbst aber, die dem Resultate vorher geht, kann die Vorstellung nicht entbehrt werden, daß Einiges nicht gleich Null, aber so unbeträchtlich sey, um außer Acht gelassen werden zu können. Allein bei dem, was unter mathematischer Bestimmtheit zu verstehen ist, fällt aller Unterschied einer größern oder geringern Genauigkeit gänzlich hinweg, wie in der Philosophie nicht von größerer oder geringerer Wahrscheinlichkeit, sondern von der Wahrheit allein die Rede seyn kann. Wenn die Methode und der Gebrauch des Unendlichen durch den Erfolg gerechtfertigt wird, so ist es nicht so überflüssig dessen ungeachtet die Rechtfertigung derselben zu fordern, als es bei der Nase überflüssig scheint, nach dem Erweise des Rechts, sich ihrer zu bedienen, zu fragen. Denn es ist bei der mathematischen als einer wissenschaftlichen Erkenntniß wesentlich um den Beweis zu thun, und auch in Ansehung der Resultate ist es der Fall, daß die streng mathematische Methode nicht zu allen den Beleg des Erfolgs liefert, der aber ohnehin nur ein äußerlicher Beleg ist.

Es ist der Mühe werth, den mathematischen Begriff des Unendlichen und die merkwürdigsten Versuche näher zu betrachten, welche die Absicht haben, den Gebrauch desselben zu rechtfertigen und die Schwierigkeit, von der sich die Methode gedrückt fühlt, zu beseitigen. Die Betrachtung dieser Rechtfertigungen und Bestimmungen des mathematischen Unendlichen, welche ich in dieser Anmerkung weitläufiger anstellen will, wird zugleich das beste Licht auf die Natur des wahren Begriffes selbst werfen, und zeigen, wie er ihnen vorgeschwebt und zu Grunde gelegen hat.

Die gewöhnliche Bestimmung des mathematischen Unendlichen ist, daß es eine Größe sey, über welche es,- wenn sie als das Unendlichgroße - keine größere oder, - wenn sie als das Unendlichkleine bestimmt ist - kleinere mehr gebe, oder die, in jenem Falle, größer, in diesem Falle kleiner sey, als jede beliebige Größe. - In dieser Definition ist freilich der wahre Begriff nicht ausgedrückt, vielmehr nur, wie schon bemerkt, derselbe Widerspruch, der im unendlichen Progresse ist; aber sehen wir, was an sich darin enthalten ist. Eine Größe wird in der Mathematik definirt, daß sie etwas sey, das vermehrt und vermindert werden könne; überhaupt also eine gleichgültige Grenze. Indem nun das Unendlich Große oder Kleine ein solches ist, das nicht mehr vermehrt oder vermindert werden könne, so ist es in der That kein Quantum als solches mehr.

Diese Konsequenz ist nothwendig und unmittelbar. Aber die Reflexion, daß das Quantum, - und ich nenne in dieser Anmerkung Quantum überhaupt, wie es ist, das endliche Quantum, - aufgehoben ist, ist es, welche nicht gemacht zu werden pflegt und die für das gewöhnliche Begreifen die Schwierigkeit ausmacht, indem das Quantum, indem es unendlich ist, als ein Aufgehobenes, als ein solches zu denken gefordert wird, das nicht ein Quantum ist, und dessen quantitative Bestimmtheit doch bleibt.

Um das anzuführen, wie Kant jene Bestimmung beurtheilt,In der Anmerkung zur Thesis der ersten kosmologischen Antinomie, in der Kritik der reinen Vernunft. so findet er sie nicht übereinstimmend mit dem, was man unter einem unendlichen Ganzen verstehe. "Nach dem gewöhnlichen Begriffe sey eine Größe unendlich, über die keine größere (d. i. über die darin enthaltene Menge einer gegebenen Einheit) möglich ist; es sey aber keine Menge die größte, weil noch immer eine oder mehrere Einheiten hinzugefügt werden können. - Durch ein unendliches Ganzes dagegen werde nicht vorgestellt, wie groß es sey, mithin sey sein Begriff nicht der Begriff eines Maximums (oder Minimums), sondern es werde dadurch nur sein Verhältniß zu einer beliebig anzunehmenden Einheit gedacht, in Ansehung deren dasselbe größer ist, als alle Zahl. Je nachdem diese Einheit größer oder kleiner angenommen würde, würde das Unendliche größer oder kleiner seyn; allein die Unendlichkeit, da sie bloß in dem Verhältnisse zu dieser gegebenen Einheit bestehe, würde immer dieselbe bleiben, obgleich Freilich die absolute Größe des Ganzen dadurch gar nicht erkannt würde."

Kant tadelt es, wenn unendliche Ganze als ein Maximum, als eine vollendete Menge einer gegebenen Einheit angesehen werden. Das Maximum oder Minimum als solches erscheint noch immer als ein Quantum, eine Menge. Solche Vorstellung kann die von Kant angeführte Konsequenz nicht ablehnen, die auf ein größeres oder kleineres Unendliches führt. Ueberhaupt indem das Unendliche als Quantum vorgestellt wird, gilt noch für dasselbe der Unterschied eines Größern oder Kleinern. Allein diese Kritik trifft nicht den Begriff des wahrhaften mathematischen Unendlichen, der unendlichen Differenz, denn diese ist kein endliches Quantum mehr.

Kants Begriff der Unendlichkeit dagegen, den er den wahren transcendentalen nennt, ist, "daß die successive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantums niemals vollendet seyn könne." Es ist ein Quantum überhaupt als gegeben vorausgesetzt; dieß solle durch das Synthesiren der Einheit zu einer Anzahl, einem bestimmt anzugebenden Quantum gemacht werden, aber dieß Synthesiren niemals vollendet werden können. Hiermit ist wie erhellt, nichts als der Progreß ins Unendliche ausgesprochen, nur transcendental, d. i. eigentlich subjektiv und psychologisch vorgestellt. An sich soll zwar das Quantum vollendet seyn, aber transcendentaler Weise, nämlich im Subjekte, welches ihm ein Verhältniß zu einer Einheit giebt, entstehe nur eine solche Bestimmung des Quantums, die unvollendet und schlechthin mit einem Jenseits behaftet sey. Es wird also hier überhaupt beim Widerspruche, den die Größe enthält, stehen geblieben, aber vertheilt an das Objekt und das Subjekt, so daß jenem die Begrenztheit, diesem aber das Hinausgehen über jede von ihm aufgefaßte Bestimmtheit, in das schlechte Unendliche zukommt.

Es ist dagegen vorhin gesagt worden, daß die Bestimmung des mathematischen Unendlichen und zwar wie es in der höhern Analysis gebraucht wird, dem Begriffe des wahrhaften Unendlichen entspricht; die Zusammenstellung beider Bestimmungen soll nun in ausführlicher Entwickelung vorgenommen werden. - Was zuerst das wahrhafte unendliche Quantum betrifft, so bestimmte es sich als an ihm selbst unendlich; es ist dieß, indem, wie sich ergeben hat, das endliche Quantum oder das Quantum überhaupt, und sein Jenseits, das schlechte Unendliche, auf gleiche Weise aufgehoben sind. Das aufgehobene Quantum ist damit in die Einfachheit und in die Beziehung auf sich selbst zurückgegangen, aber nicht nur wie das extensive, indem es in intensives Quantum überging, das seine Bestimmtheit nur an sich an einer äußern Vielfachheit hat, gegen die es jedoch gleichgültig und wovon es verschieden seyn soll. Das unendliche Quantum enthält vielmehr erstens die Aeußerlichkeit und zweitens die Negation derselben an ihm selbst; so ist es nicht mehr irgend ein endliches Quantum, nicht eine Größebestimmtheit, die ein Daseyn als Quantum hätte, sondern es ist einfach, und daher nur als Moment; es ist eine Größebestimmtheit in qualitativer Form; seine Unendlichkeit ist, als eine qualitative Bestimmtheit zu seyn.- So als Moment ist es in wesentlicher Einheit mit seinem Andern, nur als bestimmt durch dieses sein Anderes, d. i. es hat nur Bedeutung in Beziehung auf ein im Verhältniß mit ihm Stehendes. Außer diesem Verhältnisse ist es Null; - da gerade das Quantum als solches gegen das Verhältniß gleichgültig, in ihm doch eine unmittelbare ruhende Bestimmung seyn soll. In dem Verhältnisse als nur Moment ist es nicht ein für sich Gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als Fürsichseyn, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur als ein Für-Eines.

Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponirt hat, wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältniß-Moments betrachten, von der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher unendlicher Größe erhält.

Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z. B. ist nicht ein Quantum wie 1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahirt, und sie bloß nach dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten, so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und 14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas Anderes als jene Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die einen nicht an die Stelle der anderen gesetzt werden. Insofern aber und nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu seyn, gelten, so ist ihre gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite, das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an sich seyende qualitative, - nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse gelten, - bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt werden, so daß der Werth des Bruches durch, die Bestimmtheit, welche das Verhältniß hat, sich nicht ändert.

Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat, ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2 und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und Momente zu seyn, ist ihnen etwas Aeußerliches und Gleichgültiges. Ebenso ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des Verhältnisses.

Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operirt wird, die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben die Eigenschaft nicht, daß sie von einem bestimmten Zahlenwerth sind; sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes bestimmten Werthes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer Ausdruck des Unendlichen zu seyn, weil a und b aus ihrer Beziehung aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen besonderen eigenthümlichen Werth haben. - Allein diese Buchstaben sind zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend ein endliches Quantum seyen. Da sie also zwar die allgemeine Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu seyn, und außer demselben behalten sie diesen Werth.

Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu seyn, dieses aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, daß es aus seinem Andersseyn, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt dar.

Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden als 0,285714...als 1 + a + a[hoch2] + a[hoch3] u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn nicht mehr als Verhältniß, sondern nach der Seite dar, daß er ein Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen, als eine Anzahl. - Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen, wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen, darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der Zahl Zehen und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf ankommt, daß es andere Brüche giebt als der z. B. genommene 2/7, die zu Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche ausgedrückt werden.

Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen soll, die Seite, daß er Verhältniß ist, verschwindet, so verschwindet auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die Reihe ist nämlich selbst unendlich.

Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.

In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden, von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht nothwendig; im Gegentheil ist das Unendliche der unendlichen Reihe wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.

Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil das, was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört, jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so viele seyn als wollen, ist nur ein Endliches, im eigentlichen Sinne, gesetzt als Endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es seyn soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Werth, den die Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht zurückgerufen; was er ist, und was er seyn soll, ist nicht getrennt, sondern ist dasselbe.

Das beide Unterscheidende liegt näher sogleich darin, daß in der unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche Gegenwart haben, indem sie nur als Theile der Anzahl gelten. In dem endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältniß ist, ist das Negative immanent, als das Bestimmtseyn der Seiten des Verhältnisses durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtseyn, sich auf sich beziehende Einheit, als Negation der Negation (beide Seiten des Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der Unendlichkeit in sich hat. - Zu der That ist also die gewöhnlich sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1-a', ein Verhältniß; und dieser sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was an sich Verhältniß ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie seyn soll; alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser fehlende Theil ist in der That das, was das Unendliche an der Reihe heißt, nach der nur formellen Seite, daß er ein Fehlendes, ein Nichtseyn ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls seyn soll, aber zu seyn nicht vermag. - Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu seyn; es ist dieß eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der Mangelhaftigkeit reducirt.

Daß es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen giebt, die nicht summirbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der Unendlichkeit, als die summirbaren; nämlich eine Incommensurabilität, oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältniß als ein Quantum, sey es auch als Bruch, darzustellen; die Form der Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der schlechten Unendlichkeit, welche in der summirbaren Reihe ist.

Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte, das relative Unendliche, - das gewöhnliche metaphysische dagegen, worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das absolute genannt worden ist. In der That ist vielmehr dieses metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt, nur so im Gegensatze einer Grenze ist, daß diese außer ihm bestehen bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.

In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, daß die sogenannte Summe oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am neisten Licht, indem ich das, was er hierüber sagt, an diese Entwickelung anschließe.

Er definirt zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegentheil als Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch zu seyn, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung, ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch die Reflexion des Anderen in sich selbst, oder als Negation des Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.

Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist. XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht koncentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser Figur und dem Begriffe als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie zum Motto seiner Ethik machte. - "Die Mathematiker, sagt er, schließen, daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind, unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Theile, denn seine Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übertrift." - Man sieht, Spinoza verwirftjene Vorstellung vom Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird, die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des Beispiels das Unendliche nichtjenseits, sondern gegenwärtig und vollständig ist; dieser Raum ist ein Begrenztes, aber darum ein Unendliches, "weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt," weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein Quantum darstellbar ist, oder nach obigem kantischen Ausdruck das Synthesiren nicht zu einem - diskreten - Quantum vollendet werden kann. - Wie überhaupt der Gegensatz von kontinuirlichem und diskretem Quantum auf das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander gesetzt werden. - Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu . Es ist nämlich actu , es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und gegenwärtig ist. So ist die Reihe, 0,285714... oder 1 + a + a[hoch 2] + a[hoch 3] ... das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7 oder 1/1-a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was sie nur seyn soll. Das 2/7 oder 1/1-a ist gleichfalls eine endliche Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza's und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dieß Quantum des Ganzen, geht das Verhältniß seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein Mangelhaftes. - Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem stehen, und reflektirt nicht auf die qualitative Beziehung, welche den Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.

Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza's liegt, schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen, überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist, das auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert werden.

Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen bezogenen Größen gefaßt werden, so sollen sie zunächst veränderlich nicht in dem Sinne seyn, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7, indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andere Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche gesetzten Werth zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b ausdrücken soll. In dem Sinne nur, daß auch an die Stelle von x und y einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage, und unglücklich gewählt für Größebestimmungen, die ihr Interesse und Behandlungsart in etwas in etwas ganz Anderem liegen haben, als in ihrer bloßen Veränderlichkeit.

Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum, ein Quotient; das Verhältniß macht eine Anzahl aus, deren Einheit der Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler - oder umgekehrt ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten, bleibt das Verhältniß auch als Quantum dasselbe. Dieß verändert sich nun aber wesentlich in der Funktion y[hoch 2]/x = p z. B.; hier haben x und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta seyn zu können; aber nicht x und y, sondern nur x und y[hoch 2] haben einen bestimmten Quotienten.

Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältniß ist nicht ein fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint), nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin veränderlich. Dieß aber ist allein darin enthalten, daß x nicht zu y ein Verhältniß hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältniß einer Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives Verhältniß; das Potenzenverhältniß ist der Umstand, der als Grundbestimmung anzusehen ist. - In der Function der geraden Linie y = a x aber, ist x/y = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie betrachtet. - Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl einen besonderen Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind. - Es ist auch nur der Mangel des Bewußtseyns, über die Eigenthümlichkeit dessen, was das Interesse der höheren Analysis ausmacht und das Bedürfniß und die Erfindung des Differential-Kalkuls herbeigeführt hat, daß Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die Behandlung dieses Kalkuls für sich mit hereingenommen werden; seinen Antheil an solchem Formalismus hat ferner der Mißverstand, der die an sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu erfüllen meint, daß die specifische Bestimmtheit, auf

die sich das Bedürfniß gründet, weggelassen wird, daß es dafür gilt, als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen hätte, daß derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern Potenzenbestimmungen betreffe.

Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische Unendliche in seiner Eigenthümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung, worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältniß bestimmt, gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind keine Quanta mehr, noch sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung eine Bedeutung, einen Sinn blos als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas, das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Koefficienten d x/ d y genommen werden.

In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem qualitativen Daseyn vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt; es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als Element von Quantis, Princip, oder sie wie man auch gesagt hat, in ihrem ersten Begriffe.

Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differential- und Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist; vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein, - wie in der reinen Mathematik der Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit betrachtet und auf einander bezogen werden -; sondern sie versetzt eine von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z. B. eine krumme Linie zu einer geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem Begriff.

Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine Bestimmtheit gegen Anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Seyn und Nichts gebe. - Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk. 4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seyns und Nichts kein Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seyns und Nichts, worein diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken gerathen sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.

Was unendlich sey, ist ferner gesagt worden, sey nicht vergleichbar als ein Größeres oder Kleineres; es könne daher nicht ein Verhältniß von Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen in der Wissenschaft derselben vorkommen. - Es liegt bei diesem schon erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von Quantis die Rede seyn solle, die als Quanta verglichen werden; daß Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältniß mehr zu einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältniß ist, kein Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem Verhältniß ein vollkommen gleichgültiges Daseyn haben, der ihr Unterschied von einem anderen gleichgültig seyn soll, da hingegen das qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von dnem Anderen ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.

Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik über dieß Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, daß denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß ihre Urheber ihn aber als Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel nöthig hatten, welche ihrer besseren Sache widersprechen.

Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton (Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht untheilbare - eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten Quantums enthält, - verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen (limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden, keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( quacum evanescunt ). Eben so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.

Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sey; daß aber dieß oder jenes darunter zu verstehen sey, ist eigentlich eine subjektive Zumuthung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt wird, daß ein solcher Begriff an und für sich nothwendig ist und innere Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, daß der von Newton aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich, die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältniß, insofern es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses ist, worin es ist und nicht ist; dieß heißt genauer, worin das Quantum verschwunden, und damit das Verhältniß nur als qualitatives Quantitäts-Verhältniß, und die Seiten desselben ebenso als qualitative Quantitäts-Momente erhalten sind. - Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses seyn würde.

Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht überschreiten, so daß sie Nichts würden. - Unter letzten Größen hätten nämlich, wie gesagt, Untheilbare oder Eins verstanden werden können. In der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnißlosen, als auch des endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Theilbarkeit, welche hier keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die geforderte Bestimmung sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.

In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Réflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitésimal .) der Ausdruck, daß vermöge des Gesetzes der Stätigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältniß, aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. - Diese Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die Stätigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuiren, daß im Jenseits seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe entsteht; ein stätiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, daß die Werthe durchloffen werden, welche noch endliche Quanta sind.

In demjenigen Uebergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche gemacht wird, ist das Verhältniß das stätige; es ist so sehr stätig und sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältniß rein herauszuheben, und die verhältnißlose Bestimmung, d. i. daß ein Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. - Diese Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders, als wenn ein empirisches Daseyn begriffen wird. Dieß wird hierdurch so über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses Bestehen verloren haben.

Gleich interessant ist die andere Form der newtonischen Darstellung der in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder Principien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient, Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken, Quadraten; - überhaupt eine endliche Größe. - "Sie als veränderlich betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Inkremente oder Dekremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für Theilchen von bestimmter Größe genommen werden ( particulae finitae ). Solche seyen nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte Größen; es seyen vielmehr die werdenden Principien oder Anfänge endlicher Größen zu verstehen." - Das Quantum wird hier von sich selbst unterschieden, wie es als ein Produkt oder Daseyendes, und wie es in seinem Werden, in seinem Anfange und Princip, das heißt, wie es in seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen Bestimmnng ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede, die unendlichen Inkremente oder Dekremente, nur Momente; erst das Gewordene ist das in die Gleichgültigkeit des Daseyns und in die Aeußerlichkeit übergegangene, das Quantum. - Wenn aber diese in Ansehung der Inkremente oder Dekremente angeführten Bestimmungen des Unendlichen, von der Philosophie des wahrhaften Begriffs anerkannt werden müssen, so ist auch sogleich zu bemerken, daß die Formen selbst von Inkrementen u.s.f. innerhalb der Kategorie des unmittelbaren Quantums und des erwähnten stätigen Fortgangs fallen, und vielmehr sind die Vorstellungen von Inkrement, Zuwachs, Zunahme des x um d x oder i u.s.f. als das in den Methoden vorhandene Grundübel anzusehen; - als das bleibende Hinderniß, aus der Vorstellung des gewöhnlichen Quantums die Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments rein herauszuheben.

Gegen die angegebenen Bestimmungen steht die Vorstellung von unendlich-kleinen Größen, die auch im Inkrement oder Dekrement selbst steckt, weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit seyn, daß nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen seyen. - bei Leibnitz hebt sich die Forderung dieser Vernachlässigung, welche die vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen, gleichfalls eintreten lassen, auffallender hervor. Sie ist es vornehmlich, die diesem Kalkul beim Gewinne der Bequemlichkeit den Schein von Ungenauigkeit und ausdrücklicher Unrichtigkeit in dem Wege seiner Operation giebt. - Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Berges um nicht weniger genau gewesen sey, wenn der Wind indeß ein Sandkörnchen von der Spitze weggeweht habe, oder mit der Vernachlässigung der Höhen der Häuser, Thürme bei der Berechnung der Mondfinsternisse (Element. Mathes. univ. Tom. I. El. Analys. math. P. II. C. I. s. Schol.).

Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung verworfen. Es dringt sich von selbst auf, daß in der Wissenschaft der Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht die Rede ist, daß das mathematische Messen durch Operationen des Kalkuls oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie, gänzlich vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u.s.f. unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten wird, daß das eine dasselbe ist als das andere, und daß ein Mehr oder Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es versteht sich von selbst, daß ein absolut genaues Resultat nicht aus einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann wieder auf der anderen Seite das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus dem Grunde der Unbedeutenheit, des Protestirens gegen die angeführte Rechtfertigungsweise unerachtet, nicht entbehren. Und dieß ist die Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, das hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen, und es zu entfernen.

Es ist in dieser Rücksicht vornehmlich Eulers Vorstellung anzuführen. Indem er die allgemeine Newtonische Definition zu Grunde legt, dringt er darauf, daß die Differentialrechnung die Verhältnisse der Inkremente einer Größe betrachte, daß aber die unendliche Differenz als solche ganz als Null zu betrachten sey, (Institut. Calc. different. P. I. C. III.). - Wie dieß zu verstehen ist, liegt im Vorhergehenden; die unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative Null, sondern als Null des Quantums vielmehr reines Moment nur des Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; aber darum ist es einer Seits überhaupt schief, jene Momente, welche unendlich-kleine Größen heißen, auch als Inkremente oder Dekremente, und als Differenzen auszusprechen. Dieser Bestimmung liegt zu Grunde, daß zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe etwas hinzukomme oder davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine arithmetische, äußerliche Operation vorgehe. Der Uebergang von der Funktion der veränderlichen Größe in ihr Differential ist aber anzusehen, daß er von ganz anderer Natur ist, nämlich wie erörtert worden, daß er als Zurückführung der endlichen Funktion auf das qualitative Verhältniß ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten ist. - Anderer Seits fällt die schiefe Seite für sich auf, wenn gesagt wird, daß die Inkremente für sich Nullen seyen, daß nur ihre Verhältnisse betrachtet werden; denn eine Null hat überhaupt keine Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen des Quantums und spricht es bestimmt aus, aber faßt dieß Negative nicht zugleich in seiner positiven Bedeutung, von qualitativen Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären. - Lagrange ( Théorie des fonct. analyt. Introd. ) urtheilt über die Vorstellung der Grenzen oder letzten Verhältnisse, daß wenn man gleich sehr gut das Verhältniß zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich bleiben, so gebe dieß Verhältniß dem Verstande keinen deutlichen und bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden. - In der That muß der Verstand über diese bloß negative Seite, daß die Verhältnißglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv, als qualitative Momente auffassen. - Was aber Euler (am angeführten Ort _. 84 ff.) weiter in Betreff der gegebenen Bestimmung hinzufügt, um zu zeigen, daß zwei sogenannte unendlich kleine Größen, welche nichts anders als Nullen seyn sollen, doch ein Verhältniß zu einander haben und deßwegen auch nicht das Zeichen der Null, sondern andere Zeichen für sie im Gebrauch seyen, kann nicht für genügend angesehen werden. Er will dieß durch den Unterschied des arithmetischen und geometrischen Verhältnisses begründen; bei jenem sehen wir auf die Differenz, bei diesem auf den Quotienten, obgleich das erstere zwischen zwei Nullen gleich sey, so sey es deßwegen doch das geometrische nicht; wenn 2:1 = 0:0, so müsse wegen der Natur der Proportion, da das erste Glied doppelt so groß sey als das zweite, auch das dritte Glied doppelt so groß als das vierte seyn; O:O soll also nach der Proportion als das Verhältniß von 2:1 genommen werden. - Auch nach der gemeinen Arithmetik seyn n.O = O; es sey also n:1 = O:O. - Allein eben dadurch, daß 2:1 oder n:1 ein Verhältniß von Quantis ist, entspricht ihm nicht ein Verhältniß noch eine Bezeichnung von O:O.

Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten zur Genüge gezeigt haben, daß in ihnen wohl der wahrhafte Begriff des Unendlichen liegt, daß er aber nicht in seiner Bestimmtheit herausgehoben und gefaßt worden ist. Indem daher zur Operation selbst fortgegangen wird, so kann es nicht geschehen, daß in ihr die wahrhafte Begriffsbestimmung sich geltend mache; die endliche Quantitätsbestimmtheit kehrt vielmehr zurück und die Operation kann der Vorstellung eines bloß relativ-kleinen nicht entbehren. Der Kalkul macht es nothwendig, die sogenannten unendlichen Größen den gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addirens u.s.f., welche sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als solche zu behandeln. Der Kalkul hätte sich darüber zu rechtfertigen, daß er sie das eine Mal in diese Sphäre herabzieht und sie als Inkremente oder Differenzen behandelt, und daß er auf der anderen Seite sie als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben Formen und Gesetze der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.

Ueber die Versuche der Geometer, diese Schwierigkeiten zu beseitigen, führe ich noch das Hauptsächlichste an.

Die ältern Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die Bemühungen der Neueren gingen vornehmlich dahin, den Kalkul des Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten (- Ausdrücke von Lagrange -) in der Mathematik zu erreichen. Allein da das Princip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Princip der Mathematik endlicher Größen ist, so mußte jene von selbst sogleich auf jene Art von Evidenz Verzicht thun, wie die Philosophie auch auf diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die Wissenschaften des Sinnlichen, z. B. Naturgeschichte hat, und wie Essen und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und Begreifen. Es wird sich demnach nur um die Bemühung handeln, die Strenge der Beweise der Alten zu erreichen.

Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren, und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden schien. - Lagrange spricht z. B. von der Methode, die Landen erfunden hat, und sagt von ihr, daß sie rein analytisch sey und die unendlich kleinen Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werthe der veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er urtheilt übrigens, daß darin die der Differentialrechnung eignen Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen verloren gehe. - Es ist dieß wohl ein Verfahren, das mit demjenigen etwas Entsprechendes hat, von welchem Descartes Tangentenmethode ausgeht, die weiterhin noch näher zu erwähnen ist. Soviel, kann hier bemerkt werden, erhellt sogleich im Allgemeinen, daß das Verfahren überhaupt, verschiedene Werthe der veränderlichen Größen anzunehmen, und sie nachher gleichzusetzen, einem anderen Kreise mathematischer Behandlung angehört, als die Methode des Differential-Kalkuls selbst und die späterhin näher zu erörternde Eigenthümiichkeit des einfachen Verhältnisses, auf welches sich die wirkliche konkrete Bestimmung desselben zurückführt, nämlich der abgeleiteten Funktion zu der ursprünglichen, nicht herausgehoben wird.

Die Aeltern unter den Neuern, wie z. B. Fermat, Barrow und andere, die sich zuerst des Unendlich-Kleinen in derjenigen Anwendung bedienten, welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde, und dann auch Leibnitz und die Folgenden, auch Euler, haben immer unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei ihnen allein der Fundamentalsatz, nämlich die Bestimmung dessen, was das Differential eines Produkts oder einer Potenz sey, denn hierauf reducirt sich die ganze theoretische Lehre. Das Uebrige ist Theils Mechanismus der Entwickelung, Theils aber Anwendung, in welche jedoch, was weiterhin zu betrachten ist, in der That auch das höhere oder vielmehr einzige Interesse fällt. - In Rücksicht auf das Gegenwärtige ist hier nur das Elementarische anzuführen, daß aus dem gleichen Grunde der Unbedeutenheit als der Hauptsatz, die Curven betreffend, angenommen wird, daß die Elemente der Curven, nämlich die Inkremente der Abscisse und der Ordinate, das Verhältniß der Subtangente und der Ordinate zu einander haben; für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, wird der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden Inkrementen, des mit Recht vormals sogenannten charakteristischen Dreiecks, ausmacht, als eine gerade Linie, als Theil der Tangente, und damit das eine der Inkremente bis an die Tangente reichend angesehen. Diese Annahmen erheben jene Bestimmungen einer Seits über die Natur endlicher Größen; anderer Seits aber wird ein Verfahren auf die nun unendlich genannten Momente angewendet, das nur von endlichen Größen gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit vernachiässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode gedrückt wird, bleibt bei solcher Verfahrungsweise in ihrer ganzen Stärke.

Es ist hier eine merkwürdige Procedur Newtons anzuführen; (Princ. Math. phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. VII.) - die Erfindung eines sinnreichen Kunststücks, uni das arithmetisch unrichtige Weglassen der produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei dem Finden der Differentialien, zu beseitigen. Er findet das Differential des Produkts, - woraus sich dann die Differentialien der Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, - auf folgende Art. Das Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz kleiner genommen wird, geht über in x y - xdy/2 - ydx/2 + dxdy/4; aber wenn man x und y um ebenso viel zunehmen läßt, in x y + xdy/2 + ydx/2 + dxdy/4. Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt y d x + x d y als Ueberschuß, und dieß sey der Ueberschuß des Wachsthums um ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachsthum sind beide Produkte unterschieden; es ist also das Differential von xy. - Man sieht in diesem Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das Produkt der beiden unendlichen Differenzen, dxdy, durch sich selbst hinweg. Aber des newtonischen Namens unerachtet muß es gesagt werden dürfen, daß solche, obgleich sehr elementarische Operation, unrichtig ist; es ist unrichtig, daß (x + dx/2) (y + dy/2) - (x - dx/2) (y - dy/2) = (x + dx) (y + dy) - xy. Es kann nur das Bedürfniß seyn, den Fluxionen-Kalkul bei seiner Wichtigkeit zu begründen, was einen Newton dahin bringen konnte, die Täuschung solchen Beweisens sich zu machen.

Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials gebraucht, sind an konkrete auf Bewegung sich beziehende Bedeutungen der Elemente und deren Potenzen gebunden. - Beim Gebrauche der Reihenform, der sonst seine Methode auszeichnet, liegt es zu nahe zu sagen, daß man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nöthig habe, und daß die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur eine Näherung sey, als daß er nicht auch hier mit diesem Grunde sich begnügt hätte, wie er bei seiner Methode der Auflösung der Gleichungen höherer Grade durch Näherung die höheren Potenzen, die bei der Substitution jedes gefundenen noch ungenauen Werthes in die gegebene Gleichung entstehen, aus dem rohen Grunde ihrer Kleinigkeit wegläßt; s. Lagrange Equations Numériques p. 125.

Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern die Gelegenheit eines Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und von welchem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben (Théorie des fonct. analyt. 3me P. Ch. IV.) den wahren Ursprung aufgezeigt hat, beweist das Formelle und die Unsicherheit, die im Gebrauche jenes Instruments noch vorhanden war. Lagrange zeigt, daß Newton dadurch in den Fehler fiel, weil er das Glied der Reihe vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der bestimmten Aufgabe ankam. Newton hatte sich an jenes formelle oberflächliche Princip, Glieder wegen ihrer relativen Kleinheit wegzulassen, gehalten. - Es ist nämlich bekannt, daß in der Mechanik den Gliedern der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird, eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, so daß sich das erste Glied oder die erste Funktion auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von Kräften beziehe. Die Glieder der Reihe sind hiermit hier nicht nur als Theile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines Ganzen des Begriffs. Hiedurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder, die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit derselben.

Die Newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht weil in ihr Glieder der Reihe, nur als Theile einer Summe, sondern weil das Glied, das die qualitative Bestimmung, auf die es ankam, enthält, nicht berücksichtigt wurde.

In diesem Beispiele ist der qualitative Sinn dasjenige, wovon das Verfahren abhängig gemacht ist. Im Zusammenhange hiermit kann sogleich die allgemeine Behauptung aufgestellt werden, daß die ganze Schwierigkeit des Princips beseitigt seyn würde, wenn statt des Formalismus, die Bestimmung des Differentials nur in die ihm den Namen gebende Aufgabe, den Unterschied überhaupt einer Funktion von ihrer Veränderung, nachdem ihre veränderliche Größe einen Zuwachs erhalten, zu stellen, die qualitative Bedeutung des Princips angegeben, und die Operation hiervon abhängig gemacht wäre. In diesem Sinne zeigt sich das Differential von x[hoch n], durch das erste Glied der Reihe, die durch die Entwickelung von (x + dx)[hoch n] sich ergiebt, gänzlich erschöpft. Daß die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt so nicht von ihrer relativen Kleinheit her; - es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit, ein Fehler oder Irrthum vorausgesetzt, der durch einen anderen Irrthum ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung rechtfertigt. Indem es sich nicht um eine Summe, sondern um ein Verhältniß handelt, so ist das Differential vollkommen durch das erste Glied gefunden; und wo es fernerer Glieder, der Differentiale höherer Ordnungen bedarf, so liegt in ihrer Bestimmung nicht die Fortsetzung einer Reihe als Summe, sondern die Wiederholung eines und desselben Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied bereits vollkommen bestimmt ist. Das Bedürfniß der Form einer Reihe des Summirens derselben und was damit zusammenhängt, muß dann ganz von jenem Interesse des Verhältnisses getrennt werden.

Die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen Größen giebt, enthalten das Geläutertste und aufs Klarste exponirt, was in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Uebergange zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die Thatsache, daß die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den die Einführung unvollkommner Gleichungen, wie er sie nennt, d. h. solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Kalkuls habe, als durch die Natur der Sache selbst.

Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die Vorstellung des Unendlich-Kleinen, so wie derjenigen, welche die Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt, überhoben zu seyn. Es ist von seinem Funktionen-Kalkul, dessen sonstige Vorzüge in Rücksicht auf Präcision, Abstraktion und Allgemeinheit anerkannt genug sind, als hierher gehörig nur dieß anzuführen, daß er auf dem Fundamentalsatze beruht, daß die Differenz, ohne daß sie Null werde, so klein angenommen werden könne, daß jedes Glied der Reihe die Summe aller folgenden an Größe übertreffe. - Es wird auch in dieser Methode von den Kategorien vom Zuwachs und von der Differenz der Funktion angefangen, deren veränderliche Größe den Zuwachs erhalte, womit die lästige Reihe hereinkommt, von der ursprünglichen Funktion; so wie im Verfolg die wegzulassenden Glieder der Reihe nur in der Rücksicht, daß sie eine Summe constituiren, in Betracht kommen, und der Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird. Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf den Gesichtspunkt zurückgeführt, der Theils in einigen Anwendungen vorkommt, worin, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine bestimmte qualitative Bedeutung haben sollen und Glieder außer Acht gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind, sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind; Theils aber fällt dann die Weglassung selbst in dem wesentlichen Gesichtspunkte hinweg, der sich für den sogenannten Differential-Koefficienten erst in der sogenannten Anwendung des Kalkuls bei Lagrange bestimmt heraushebt, was in der folgenden Anmerkung ausführlicher auseinandergesetzt werden wird.

Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird, nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und deren Durchführung im Kalkul zu einer eigenthümlichen Methode gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urtheilt, daß sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden. Daß hiermit für den Mechanismus des Kalkuls besonders in seiner Anwendung der Vortheil verloren geht, den er davon zieht, daß die Seiten des Differential-Koefficienten von einander abgesondert werden, ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer gegebenen Funktion seyn; - sie soll einen gewissen Werth in Beziehung auf dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit dem, um das es in dieser Anm. zu thun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen, daß das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen, nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge, ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnißmoments als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältniß zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit, zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, daß sie Grenze von Etwas sey, d. h. einen gewissen Werth ausdrücke, der in der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dieß konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist. - Sie soll die Grenze des Verhältnisses seyn, welches die zwei Inkremente zu einander haben, um welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als zunehmend angenommen worden; - der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht. Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben Inkonsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht, sich in fx + ph + qh[hoch 2] + rh[hoch 3] u.s.f. verändert, hiermit ist k = ph + qh[hoch 2] u.s.f. und k/h = p + qh + rh[hoch 2] u.s.f. Wenn nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p, welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sey. Man sieht, daß h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber daß darum k/h nicht zugleich = 0 seyn, sondern noch ein Verhältniß bleiben soll. Den Vortheil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche Verhältniß, das = 0/0 wäre, sondern nur der bestimmte Werth seyn, dem sich das Verhältniß unendlich d.i. so nähern könne, daß der Unterschied kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll, wird unten betrachtet werden. - Daß aber ein quantitativer Unterschied, der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist, dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen worden. Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden wird. Giebt man aber zu, daß k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der That von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter der Bedingung statt, daß der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn p seyn solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Werth ist. Hierauf giebt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst, daß es ein Koefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht, - die auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der That Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine Theil der Wissenschaft des Differential-Kalkuls und unmittelbar diese seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden, wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso leeren Kategorien von kontinuirlicher Größe Die Kategorie von der kontinuirlichen oder fließenden Größe stellt sich mit der Betrachtung der äußerlichen und empirischen Veränderung der Größen, die durch eine Gleichung in die Beziehung, daß die Eine eine Funktion der Andern ist, gebracht sind, ein; da aber der wissenschaftliche Gegenstand der Differentialrechnung ein gewisses (durch den Differential-Koefficienten gewöhnlich ausgedrücktes) Verhältniß, welche Bestimmtheit ebensowohl Gesetz genannt werden kann, ist, so ist für diese specifische Bestimmtheit die bloße Kontinuität Theils schon eine fremdartige Seite, Theils aber auf allen Fall die abstrakte und hier leere Kategorie, da über das Gesetz der Kontinuität gar nichts damit ausgedrückt ist. - Auf welche formelle Definitionen dabei vollends verfallen wird, ist aus meines verehrten Hrn. Collegen, Prof. Dirksen, scharfsinniger allgemeinen Darstellung der Grundbestimmungen, die für die Deduktion des Differential-Kalkuls gebraucht werden, welche sich an die Kritik einiger neueren Werke über diese Wissenschaft anschließt und sich in den Jahrb. f. wissensch. Kritik, 1827 Nr. 153 ff., befindet, zu ersehen, es wird daselbst S. 1251 sogar die Definition angeführt: "Eine stätige oder kontinuirliche Größe, Kontinuum, ist jede Größe, welche man sich im Zustande des Werdens gedenkt, so daß dieses Werden nicht sprungweise, sondern durch ununterbrochenen Fortgang geschieht." Das ist doch wohl tautologisch dasselbe, was das definitum ist. und welche man sonst, wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nöthig erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p, außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, daß es weiter nichts als eine aus der Entwickelung eines Binomiums abgeleitete Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Werth, d. i. welchen Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfniß habe; hiervon soll die zweite Anmerkung handeln. - Es folgt aber zunächst hier noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen, qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu thun war, gebracht worden ist.

Es ist gezeigt worden, daß die sogenannten unendlichen Differenzen das Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und daß das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältniß ist, rein insofern es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältniß geht hierin so wenig verloren, daß es vielmehr dasjenige ist, was eben durch die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultirt. Hierin besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache. - So verschwinden im letzten Verhältnisse z. B. die Quanta der Abscisse und Ordinate; aber die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element der Ordinate, die andere Element der Abscisse. Indem die Vorstellungsweise gebraucht wird, daß man die eine Ordinate sich der anderen unendlich nähern läßt, so geht die vorher unterschiedene Ordinate in die andere Ordinate, und die vorher unterschiedene Abscisse in die andere Abscisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in die Abscisse, oder die Abscisse in die Ordinate über. Das Element der Ordinate, - um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches innerhalb seiner selbst zu seyn; er ist in die einfache Intensität zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen Verhältnißmoments gegen das andere.

Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, daß das, was so eben Element z. B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz oder Inkrement gefaßt wird, daß es nur der Unterschied des Quantums einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sey. Die Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur als der letzte Werth, dem sich eine andere Größe von gleicher Art beständig so nähere, daß sie von ihm, so wenig als man will, unterschieden seyn könne, und daß das letzte Verhältniß, ein Verhältniß der Gleichheit sey. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man läßt dx[hoch 2] gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx gegen x, dieß heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältniß zu dy. - Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich darum zu thun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.

Indem es nun damit geschehen ist, daß die Inkremente oder unendlichen Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet, und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als verhältnißlose Momente gefaßt. Es würde die unstatthafte Vorstellung daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen. - Diese Vorstellung scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mft der geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und unerlaubter, als die Verwechslung der Abscisse, Ordinate, des Sinus versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis , wenn ein ob zwar unendlich kleiner Theil des Bogens, für ein Stück der Tangente, genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. - Allein diese Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in dem Dreieck, weilches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abscisse und der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältniß dasselbe ist, als wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der Tangente wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältniß konstituiren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahirt wird, sind die nämlichen. - Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als unendlichklein, seyen in krumme Linien übergegangen, und das Verhältniß ihrer in ihrer Unendlichkeit sey ein Kurvenverhältniß. Da nach ihrer Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem Wege, was also eine Bestimmung von Quantum Ist. Aber diese Bestimmung verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment, als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie, der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte. - Also als unendlich behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältniß und damit, auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese über.

Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig gleichgültige Annahme, daß unendlich kleine Theile desselben Ganzen einander gleich seyen; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Größebestimmung behafteten Gegenstand, bringt sie die eigenthüniliche Verkehrung hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, daß in gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Theile einer Kurve in gleichförmiger Bewegung durchloffen werden, indem dieß von einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i. existirenden Zeittheilen endliche, d. i. existirende ungleiche Theile der Kurve durchloffen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als existirend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich in der oben auch angeführten Entwickelung der Formel von ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergiebt, bedeuten soll. Aeltere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten Gegenständen zu thun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die Größe des Gegenstands z. B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine gegenständliche Bedeutung, z. B. der Geschwindigkeit, beschleunigende Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze, physikalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt seyn, wie z. B. eben daß in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als Ergebnisse des Kalkuls aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit, den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen reellen Sinn genommen werden, z. B. den Uebergang von jener schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen beschleunigten, begreifflich zu machen, gilt dafür, durch die analytische Behandlung ganz beseitigt zu seyn, als in welcher solcher Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der Operationen des Kalkuls ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft ausgegeben, durch den bloßen Kalkul über die Erfahrung hinaus Gesetze, d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimal-Kalkuls sollte von jenen Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt, ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu thun war, angewendet werden, (- man sehe den newtonischen Beweis von seinem Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem. philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. _. 20), wo zugestanden wird, daß es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt -).

Es wird nicht geläugnet werden können, daß man sich in diesem Felde vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des Unendlich-Kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als dem, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, wenigstens den Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte; - einen Schein, den man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog. Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine bloße Taschenspielerei und Charlatanerie des Beweisens anzusehen, und hierunter selbst newtonische Beweise zu rechnen, ins Besondere die zu dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch Erfahrung gefunden, mathematisch dargethan zu haben.

Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind, welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, daß alle in ihr vorkommenden Sätze streng bewiesen seyn sollen, ließ sie ihre Grenze oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen; später ist das Bewußtseyn hierüber gebildeter geworden; eh dieses aber über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur Glieder analytischer Entwickelung und was physikalische Existenzen sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner Haltung herausbilden. - Jenem Gerüste newtonischen Beweisens aber wird ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem anderen grundlosen newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und damit verbundenem Schließen angethan worden ist. Die angewandte Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und Reflexion, aber wie vonjener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Theil nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignorirt zu werden mit der Inkonsequenz jedoch, das Uebrige obgleich damit Widersprechende noch gewähren zu lassen, - so ist es auch Faktum, daß bereits ein Theil jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit gerathen oder durch andere ersetzt worden ist.

Anmerkung 2.
Der Zweck des Differentialkalkuls aus seiner Anwendung abgeleitet.

In der vorigen Anmerkung ist Theils die Begriffsbestimmtheit des Unendlich-Kleinen, das in dem Differential-Kalkul gebraucht wird, Theils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden; Beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite sollen der Gegenstand dieser Anmerkung seyn. - Die ganze Methode der Differentialrechnung ist in dem Satze, daß dx[hoch n] = nx[hoch n 1]dx, oder f(x+i)-fx/i = P, d.i. gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x + d, x + i, absolvirt. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig Zeit, vielleicht in einer halben Stunde - mit dem Finden der Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben, - kann man die ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung es einzusehn, begreifflich zu machen, daß nachdem der eine Umstand der Aufgabe, das Finden jenes Koefficienten, auf analytische d. i. ganz arithmetische Weise, durch die Entwickelung der Funktion der veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es der Fall, daß man jenen Koefficienten allein nöthig hätte, so wäre mit der Bestimmung desselben Alles, was die Theorie betrifft, - wie gesagt in weniger als einer halben Stunde abgethan, und das Weglassen der weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, daß vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f. Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten gleichfalls absolvirt), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und gar nicht zu thun ist.

Es kann die Bemerkung vorangeschickt werden, daß man es der Methode des Differentialkalkuls wohl sogleich ansieht, daß sie nicht für sich selbst erfunden und aufgestellt worden ist; sie ist nicht nur nicht für sich begründet, als eine andere Weise analytischen Verfahrens, sondern die Gewaltsamkeit, Glieder, die sich aus Entwickelung einer Funktion ergeben, indem doch das Ganze dieser Entwickelung vollständig zur Sache zu gehören angenommen ist, - weil die Sache als der Unterschied

der entwickelten Funktion einer veränderlichen Größe, nachdem dieser die Gestalt eines Binomiums gegeben worden, von der ursprünglichen, angesehen wird, - geradezu wegzulassen, widerspricht vielmehr durchaus allen mathematischen Grundsätzen. Das Bedürfniß solcher Verfahrungsweise, wie die ihr an ihr selbst mangelnde Berechtigung, weist sogleich darauf hin, daß anderswo der Ursprung und die Grundlage sich befinden müsse. Es geschieht auch sonst in den Wissenschaften, daß das, was als das Elementarische vornehin gestellt ist und woraus die Sätze der Wissenschaft abgeleitet werden sollen, nicht einleuchtend ist, und daß es sich ausweist, vielmehr in dem Nachfolgenden seine Veranlassung und seine Begründung zu haben. Der Hergang in der Geschichte des Differential-Kalkuls thut dar, daß er in den verschiedenen sogenannten Tangential-Methoden vornehmlich, die Sache gleichsam als in Kunststücken, den Anfang genommen hat; die Art des Verfahrens, nachdem es auch auf weitere Gegenstande ausgedehnt worden, ist spater zum Bewußtseyn und in abstrakte Formeln gebracht worden, welche nun auch zu Principien zu erheben versucht wurde.

Als die Begriffsbestimmtheit des sogenannten Unendlich-Kleinen ist die qualitative Quantitäts-Bestimmtheit solcher, die zunächst als Quanta im Verhältniß zu einander gesetzt sind, aufgezeigt worden, woran sich die empirische Untersuchung knüpfte, jene Begriffs-Bestimmtheit in den Beschreibungen oder Definitionen nachzuweisen, die sich von dem Unendlich-Kleinen, insofern es als unendliche Differenz und dergleichen genommen ist, vorfinden. - Dieß ist nur im Interesse der abstrakten Begriffsbestimmtheit als solcher geschehen; die weitere Frage wäre, wie von ihr der Uebergang zur mathematischen Gestaltung und Anwendung beschaffen wäre. Zu dem Ende ist zuerst das Theoretische, die Begriffsbestimmtheit, noch weiter vorzunehmen, welche sich an ihr selbst nicht ganz unfruchtbar zeigen wird; alsdenn ist das Verhältniß derselben zur Anwendung zu betrachten, und bei beidem nachzuweisen, so weit es hier angeht, daß die allgeineinen Folgerungen zugleich demjenigen, um was es in der Differentialrechnung zu thun ist, und der Art, wie sie es bewerkstelligt, angemessen sind.

Zunächst ist daran zu erinnern, daß die Form, welche die in Rede stehende Begriffsbestimmtheit im Mathematischen hat, bereits beiläufig angegeben ist. Die qualitative Bestimmtheit des Quantitativen ist zuerst im quantitativen Verhältniß überhaupt aufgewiesen, es ist aber auch schon bei der Nachweisung der unterschiedenen sogenannten Rechnungsarten (s. d. betreff. Anm.) anticipirt worden, daß das nachher an seiner eigenthümlichen Stelle noch zu betrachtende Potenzenverhältniß es ist, worin die Zahl durch Gleichsetzung ihrer Begriffsmomente, der Einheit und der Anzahl als zu sich selbst zurückgekehrte gesetzt ist, und damit das Moment der Unendlichkeit, des Fürsichseyns, d. i. des Bestimmtseyns durch sich selbst, an ihr erhält. Die ausdrückliche qualitative Größenbestimmtheit bezieht sich somit, wie gleichfalls schon erinnert, wesentlich auf Potenzenbestimmungen, und da die Differentialrechnung das Specifische hat, mit qualitativen Größenformen zu operiren, so muß ihr eigenthümlicher mathematischer Gegenstand die Behandlung von Potenzenformen seyn, und die sämmtlichen Aufgaben und deren Auflösungen, zu deren Behuf die Differentialrechnung gebraucht wird, zeigen es, daß das Interesse allein in der Behandlung von Potenzenbestimmungen als solchen liegt.

So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen. Ohne Zweifel müssen sie zusammen ein System der Potenzenbehandlung ausmachen; aber welches unter den verschiedenen Verhältnissen, worein Potenzenbestimmungen gesetzt werden können, dasjenige sey, das der eigentliche Gegenstand und das Interesse für die Differentialrechnung ist, dieß ist aus dieser selbst, d. i. aus den sogenannten Anwendungen derselben zu entnehmen. Diese sind in der That die Sache selbst, das wirkliche Verfahren in der mathematischen Auflösung eines gewissen Kreises von Problemen; dieß Verfahren ist früher gewesen, als die Theorie oder der allgemeine Theil, und Anwendung ist dasselbe später genannt worden nur in Beziehung auf die nachher erschaffene Theorie, welche die allgemeine Methode des Verfahrens Theils aufstellen, Theils ihr aber Principien, d. i. Rechtfertigung geben wollte. Welche vergebliche Bemühung es gewesen ist, für die bisherige Auffassungsweise des Verfahrens Principien aufzufinden, welche den Widerspruch, der dabei zum Vorschein kommt, wirklich lösten, statt ihn nur durch die Unbedeutenheit des nach dem mathematischen Verfahren nothwendigen hier aber wegzulassenden, oder durch die auf dasselbe hinauslaufende Möglichkeit der unendlichen oder beliebigen Annäherung und dergleichen zu entschuldigen oder zu verstecken, ist in voriger Anmerkung gezeigt worden. Wenn aus dem wirklichen Theile der Mathematik, der die Differentialrechnung genannt wird, das Allgemeine des Verfahrens anders abstrahirt würde, als bisher geschehen ist, so würden sich jene Principien und die Bemühung mit denselben auch als entbehrlich zeigen, wie sie an ihnen selbst sich als etwas Schiefes und im Widerspruche Bleibendes ausweisen.

Wenn wir diesem Eigenthümlichen durch einfaches Aufnehmen des in diesem Theile der Mathematik Vorhandenen nachforschen, so finden wir als Gegenstand à) Gleichungen, in welchen eine beliebige Anzahl von Größen (wir können hier überhaupt bei zwei stehen bleiben) zu einem Ganzen der Bestimmtheit so verbunden sind, daß diese erstens ihre Bestimmtheit in empirischen Größen, als festen Grenzen und dann in der Art der Verbindung mit denselben, so wie ihrer Verbindung untereinander, haben; wie dieß überhaupt in einer Gleichung der Fall ist; indem aber nur Eine Gleichung für beide Größen (und ebenso relativ wohl mehrere Gleichungen für mehrere Größen, aber immer weniger, als die Anzahl der Größen ist -) vorhanden ist, gehören diese Gleichungen zu den unbestimmten; und daß zweitens eine Seite, wie diese Größen hier ihre Bestimmtheit haben, darin liegt, daß sie (wenigstens eine derselben) in einer höhern, als die erste Potenz, in der Gleichung vorhanden sind.

Hierüber sind zunächst einige Bemerkungen zu machen, für's Erste, daß die Größen nach der ersten der angegebenen Bestimmungen ganz nur den Charakter solcher veränderlichen Größen haben, wie sie in den Aufgaben der unbestimmten Analysis vorkommen. Ihr Werth ist unbestimmt, aber so daß wenn anderswoher ein vollkommen bestimmter Werth, d. i. ein Zahlenwerth für die eine kommt, auch die andere bestimmt, so die eine, eine Funktion der andern, ist. Die Kategorien von veränderlichen Größen, Funktionen und dergleichen sind darum für die specifische Größebestimmtheit, die hier in Rede steht, nur formell, wie vorhin gesagt worden ist, weil sie von einer Allgemeinheit sind, in welcher dasjenige Specifische, worauf das ganze Interesse des Differentialkalkuls geht, noch nicht enthalten ist, noch daraus durch Analyse explicirt werden kann; sie sind für sich einfache, unbedeutende, leichte Bestimmungen, die nur erst schwierig gemacht werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die specifische Bestimmung der Differentialrechnung. - Was alsdenn die sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, daß sie zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums, als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der Konstanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente für die Natur der besonderen Funktion, welche diese Größen sind. Umgekehrt sind aber auch die Konstanten selbst Funktionen; insofern z. B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu seyn, so ist dieser ihr Sinn dieß, daß sie die Funktion y[hoch 2]/x ist; wie in der Entwickelung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der Koefficient des ersten Entwickelungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln, der des zweiten, die Summe der Produkte derselben zu zwei und zwei u.s.f. also diese Konstanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser behandelt. Jene Koefficienten werden wir dann weiter in einer anderen Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es ist, worauf das ganze Interesse geht.

Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen, daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind. Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ determinirt, damit kontinuirlich, und diese Kontinuität, die für sich wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat hier ihren determinirten Sinn und zwar allein in dem Potenzenverhältnisse, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen andern Formalismus die Bemerkung zu machen, daß die erste Potenz nur Potenz im Verhältniß zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y = ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax + b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a = y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher, schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden solle, ausgeht, so kann Freilich auch eine solche, die nur eine Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll, so zeigt sich das Leere der Operation, daß, wie bemerkt, die Gleichung vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als für die veränderlichen Größen selbst.

ß) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung bestimmt, und es ist nun anzugeben, auf welches Interesse sich die Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange'schen Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten heterogenen Bestimmungen zu entfernen. - Als die Grundlage der Behandlung der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, daß die Potenz innerhalb ihrer selbst als ein Verhältniß, als ein System von Verhältnißbestimmungen, gefaßt wird. Die Potenz ist oben als die Zahl angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat, formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen. Die Potenz nun, da sie als Zahl - wenn man den Ausdruck Größe als den allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl, - eine Menge ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur daß sie zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefaßt, und beliebig nach mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die Wurzel seyn soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher etwas Leeres.Es gehört nur zum Formalismus derjenigen Allgemeinheit, auf welche die Analysis nothwendigen Anspruch macht, wenn statt (a + b)[hoch n] für die Potenzenentwicklung zu nehmen, (a + b + c + d ...)[hoch n] gesagt wird, wie dieß auch in vielen andern Fällen gethan wird; es ist solche Form, so zu sagen, nur für eine Koketterie des Scheins der Allgemeinheit zu halten; in dem Binomium ist die Sache erschöpft; es wird durch dessen Entwickelung das Gesetz gefunden, und das Gesetz ist die wahrhafte Allgemeinheit, nicht die äußerliche nur leere Wiederholung des Gesetzes, welche allein es ist, die durch jenes a + b + c + d... hervorgebracht wird. Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzirung der als Summe angenommenen Wurzel ergiebt, welche Bestimmtheit allein in der Veränderung, die das Potenziren ist, liegt. Diese Glieder sind somit ganz Funktionen der Potenzirung und der Potenz. Jene Darstellung nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche Funktionen der Potenzirung sind, alsdenn das Interesse, die Form solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form abhängen muß, - dieß macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu unterscheiden, nämlich das Verhältniß der zu Grunde liegenden Größe selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Komplex d. i. hier eine Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, - zu den Funktionen ihrer Potenzirung. Dieß Verhältniß, ganz abstrahirt von dem vorhin genannten Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der wirklichen Wissenschaft ergiebt.

Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen, oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich gesagt, daß die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzirung sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; x[hoch n] = (y + z)[hoch n] = (y + ny[hoch n-1] z + ....) Diese Darstellung ging für die Entwickelung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer Potenzirungsfunktionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende Reihe zu thun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen. Die Beziehung als solche der Größen ist das was einer Seits übrig bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahirt wird, und was anderer Seits für das Finden der EntwicklungsFunktionen der Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin bestimmt, daß hier der Gegenstand eine Gleichung, y[hoch m] = ax[hoch n] auch schon ein Komplex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Komplex ist jede dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst, - als Funktion der andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu seyn, giebt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen; es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander verglichen werden, - welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein Verhältniß ihrer Entwickelungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck, Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimungen an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde, ausgegangen worden, so diente dieß nur Theils zur Angabe von welcher Art solche Funktionen seyen, Theils liegt darin die Weise sie zu finden.

Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört, explicirt wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur eine Form seyn, deren ganzer Werth ist, zur Entwickelung behülflich zu seyn; was man eingestandenermaßen, am bestimmtesten von Euler und Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will, sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen Größen, die sogenannten Koefficienten zwar des Zuwachses und der Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die unterschiedenen Koefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt werden, daß indem nur um der Entwickelung willen ein Zuwachs angenommen ist, der ohne Quantum sey, es am geschicktesten gewesen wäre, (das Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwickelung immer nur als Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, daß keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier unnützen Scheine von Allgemeinheit behafftet, immer das Aussehen und die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als indices ebenso gut dem Eins angefügt werden. Aber es muß ohnehin von der Reihe und von der Bestimmung der Koefficienten nach der Stelle, die sie in der Reihe haben, abstrahirt werden, das Verhältniß zwischen allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe, sondern ganz allein auf die sich aus der Entwickelung ergebende Potenzenbestimmung in ihrem Verhältniß zu der für sie unmittelbaren Größe. Anstatt also jene als den Koefficienten des ersten Gliedes der Entwickelung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören, wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen, wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwickelung genommen wird.

Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Theile der Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die Potenzen-Entwickelung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage, was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine Anwendung und Gebrauch hat, oder in der That, für welchen Zweck solche Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr großes Interesse erhalten.

Ueber die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen, vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst Folgendes. Die Entwickelung der Potenzengrößen, wodurch sich die Funktionen ihrer Potenzirung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung abstrahirt, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir nun auf die Raumbestimmtheit reflektiren, so finden wir, daß sie die drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und dieselbe als Quadrat, und den Kubus. Die gerade Linie hat ein empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die Potenzenbestimmung ein; nähere Modificationen, z. B. daß dieß gleich auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir, insofern es zunächst um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu thun ist, unerörtert lassen. Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem z. B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f. oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. - Die Bewegung ferner, als an der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig beschleunigten und gleichförmig retardirten, - in sich zurückkehrenden Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation gleichfalls das Uebergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern oder medrigern herbei. - Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.

Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in ihren Anwendungen präsentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das Bewußtseyn über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt finden kann, und über das eigenthümliche Bedürfniß und die Bedingung dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Theilen der Gegenstände der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältniß statt finde, als durch den Differentialkalkul eigenthümlich gesetzt wird. Es muß gleich vorläufig bemerkt werden, daß hierbei zweierlei Verhältnisse zu beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen betrachtet, giebt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältniß ist; dieses Verhältniß ist der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch ist zweitens das Verhältniß vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung (der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem Abgeleiteten). Dieß zweite Verhältniß haben wir hier zunächst bei Seite zu lassen; es wird sich als der eigenthüniliche Gegenstand der Integralrechnung zeigen.

Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind. Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente, Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden Linien. Der Uebergang von der Grundgleichung, welche die Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun den angegebenen Uebergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung der Curve ist es, um dessen Finden es sich handelt.

Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu bemerken, daß die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge mich hierüber mit der Anführung Barrow's, des Lehrers Newtons. In seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach der Methode der Untheilbaren behandelt, die sich zunächst von dem Eigenthümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, giebt er auch, "weil seine Freunde in ihn gedrungen," (lect. X.) sein Verfahren, die Tangente zu bestimmen, an. Man muß bei ihm selbst nachlesen, wie diese Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist, - in demselben Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die man nachher die Inkremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve genannt hat, und giebt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwickelung der Gleichungen, als Potenzen jener Inkremente oder Produkte zum Vorschein kommen, ( etenim isti termini nihilum valebunt ); ebenso seyen die Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen enthalten, wegzuwerfen (- das nachherige Abziehen der ursprünglichen Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der Abscisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben; - die letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der Proportionalität der Inkremente der Ordinate und Abscisse mit der Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf Aehnliches hinaus, - die Methode, die größten und kleinsten Werthe zu finden, von der der Letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten, sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen auch ein Geheimniß zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in einer Rücksicht nöthig war, aus demselben Grunde, als es leicht war, -nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel, keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Principien Abgeleitetes, gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit zugleich das Bedürfniß gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß äußerlicher Regeln zu reißen, und demselben die erforderliche Berechtigung zu verschaffen gesucht.

Analysiren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser. Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Werth der Glieder der Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es ist nur ein Verhältniß entstanden zwischen der ersten Funktion der einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px = y[hoch 2] hat man p : 2y oder statt 2 ax - x[hoch 2] = y[hoch 2] hat man a - x : y, was nachher als das Verhältniß dy/dx bezeichnet zu werden pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Curve, dieß Verhältniß, das ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse Linien in Proportion sind; p : 2y oder a - x : y sind selbst Verhältnisse aus geraden Linien der Kurve, den Koordinaten und den Parameters; aber damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve vorkommenden Linien zu wissen, daß ihnen jenes Verhältniß zukommt, die Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden. - Es ist also zweitens die Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien sind, welche in solchem Verhältnisse stehen? - dieß aber ist es, was schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird, von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist, welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es zu thun ist. Theils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch gefaßt und gemacht worden, - die Differentation, - Theils aber sind die imaginären Inkremente der Koordinaten und das imaginäre hieraus und einem ebensolchen Inkremente der Tangente gebildete, charakteristische Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch nur aus der alten Bekanntschaft Aufgenommenes, sondern als ein Erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.

Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die beiden Uebergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen. Der eine Theil dieser Auflösung, - indem wir für die nähere Angabe des Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente zu finden, bleiben, - der theoretische oder allgemeine Theil, nämlich das Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Kurvengleichung, wird für sich regulirt; derselbe giebt ein lineares Verhältniß, also von geraden Linien, die in dem Systeme der Kurvenbestimmung vorkommen. Der andere Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve, welche in jenem Verhältnisse stehen. Dieß wird nun auf die direkte Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i. ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen, Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie auch die Bestimmmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dieß ist, um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist. - Die Subtangente wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit hinzugesetzt); - die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den Koefficienten von q, der die respective erste Funktion der Gleichung ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als, wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch ausgedrückt, daß indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx = Fq angenommen wird, auch f'x = F'q. Daß nun die als Tangente applicirte gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte Increment herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe eingeführt wird, und die Entwickelung der Funktion nach demselben, muß von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der Differentialgleichung und für das charakteristische Dreieck, wohl unterschieden werden. Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und nothwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, daß zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele, durchgehen könne. Denn mit dieser Bestimmung ist die Qualität der Tangente oder Nicht-Tangente auf den Größenunterschied zurückgeführt, und diejenige Linie ist die Tangente, auf welche die größere Kleinheit - schlechthin in Ansehung der Determination, auf welche es ankommt, falle. Diese scheinbar nur relative Kleinheit enthält durchaus nichts Empirisches, d. i. von einem Quantum als solchem Abhängiges, sie ist qualitativ durch die Natur der Formel gesetzt, wenn der Unterschied des Moments, von dem die zu vergleichende Größe abhängt, ein Potenzenunterschied ist; indem derselbe auf i und i[hoch 2] hinauskommt, und i, das zuletzt doch eine Zahl bedeuten soll, dann als ein Bruch vorzustellen ist, so ist i[hoch 2] an und für sich kleiner als i, so daß selbst die Vorstellung von einer beliebigen Größe, in der man i nehmen könne, hier überflüssig und sogar nicht an ihrem Orte ist. Ebendamit hat der Erweis der größern Kleinheit nichts mit einem Unendlich-Kleinen zu thun, das hiermit hier keineswegs hereinzukommen hat.

Wäre es auch nur um der Schönheit und des heutigstags mehr vergessen, aber wohlverdienten Ruhmes willen, daß ich noch Descartes Tangentenmethode anführen will; sie hat übrigens auch eine Beziehung auf die Natur der Gleichungen, über welche dann noch eine fernere Bemerkung zu machen ist. Descartes trägt diese selbstständige Methode, worin die geforderte lineare Bestimmung gleichfalls aus derselben abgeleiteten Funktion gefunden wird, in seiner, sonst auch so fruchtbar gewordenen Geometrie (liv. II. p. 357 ss. Oeuvres compl. ed. Cousin Tom. V.) vor, indem er in derselben die große Grundlage von der Natur der Gleichungen und deren geometrischer Konstruktion und der damit sosehr erweiterten Analysis auf die Geometrie überhaupt, gelehrt hat. Das Problem hat bei ihm die Form der Aufgabe, gerade Linien senkrecht auf beliebige Orte einer Kurve zu ziehen, als wodurch Subtangente u.s.f. bestimmt wird; man begreift die Befriedigung, die er daselbst über seine Entdeckung, die einen Gegenstand von allgemeinem wissenschaftlichen Interesse der damaligen Zeit betraf, und die sosehr geometrisch ist und dadurch so hoch über den oben erwähnten bloßen Regelmethoden seiner Nebenbuhler stand, ausdrückt: j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie jamais desire de savoir en géometrie . - Er legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll, dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die Subnormale, gebildet wird. Aus der bekannten Gleichung einer Kurve wird nun in jene Gleichung des Dreiecks der Werth es sey der Ordinate oder der Abscisse substituirt, so hat man eine Gleichung des zweiten Grades (und Descartes zeigt, wie auch Kurven, deren Gleichungen höhere Grade enthalten, sich hierauf zurückführen), in welcher nur noch die eine der veränderlichen Größen und zwar im Quadrat und in der ersten Potenz vorkommt; - eine quadratische Gleichung, welche zunächst als eine sogenannte unreine erscheint. Nun macht Descartes die Reflexion, daß wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve noch in einem anderen Punkte schneiden wird, und alsdenn sich für die zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit denselben Konstanten und von derselben Form ergeben; - oder aber nur Eine Gleichung mit ungleichen Werthen von x. Die Gleichung wird aber nur Eine, für das Eine Dreieck, in welchem die Hypotenuse auf die Kurve senkrecht, Normale, ist, was so vorgestellt wird, daß man die beiden Durchschnittspunkte der Kurve durch den Kreis, zusammenfallen, diesen also die Kurve berühren lasse. Damit aber fällt auch der Umstand der ungleichen Wurzeln des x oder y der quadratischen Gleichung hinweg. Bei einer quadratischen Gleichung von zwei gleichen Wurzeln nun aber ist der Koefficient des Gliedes, das die Unbekannte in der ersten Potenz enthält, das Doppelte der nur Einen Wurzel; dieß nun giebt eine Gleichung, durch welche die verlangten Bestimmungen gefunden sind. Dieser Gang ist für den genialen Griff eines ächt analytischen Kopfes anzusehen, wogegen die ganz assertorisch angenommene Proportionalität der Subtangente und der Ordinate mit den unendlich klein seyn sollenden sogenannten Inkrementen der Abscisse und der Ordinate ganz zurücksteht.

Die auf die angegebene Weise erhaltene Endgleichung, welche den Koefficienten des zweiten Gliedes der quadratischen Gleichung gleichsetzt der doppelten Wurzel oder Unbekannten, ist dieselbe, welche durch das Verfahren des Differentialkalkuls gefunden wird. x[hoch 2] - ax - b = 0 differentiirt giebt die neue Gleichung 2x - a = 0; oder x[hoch 3] - px - q = 0 giebt 3x[hoch 2] - p = 0. Es bietet sich hierbei aber die Bemerkung an, daß es sich keineswegs von selbst versteht, daß solche abgeleitete Gleichung auch

richtig ist. Bei einer Gleichung mit zwei veränderlichen Größen, die darum, daß sie veränderliche sind, den Charakter unbekannte Größen zu seyn nicht verlieren, kommt, wie oben betrachtet wurde, nur ein Verhältniß heraus, aus dem angegebenen einfachen Grunde, weil durch das Substituiren der Funktionen der Potenzirung an die Stelle der Potenzen selbst der Werth der beiden Glieder der Gleichung verändert wird, und es für sich selbst noch unbekannt ist, ob auch zwischen ihnen bei so veränderten Werthen noch eine Gleichung Statt finde. Die Gleichung dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als daß P ein Verhältniß ist, und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem Verhältniß = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem andere Verhältnisse es gleich sey; solche Gleichung, die Proportionalität, giebt demselben erst einen Werth und Bedeutung. - Wie angegeben wurde, daß man diese Bedeutung, was die Anwendung hieß, anderswoher, empirisch aufnahm, so muß bei den hier in Rede stehenden durch Differentation abgeleiteten Gleichungen anderswoher gewußt werden, ob sie gleiche Wurzeln haben, um zu wissen, ob die erhaltene Gleichung noch richtig sey. Dieser Umstand wird aber in den Lehrbüchern nicht ausdrücklich bemerklich gemacht; er wird wohl dadurch beseitigt, daß eine Gleichung mit einer unbekannten, auf Null gebracht, sogleich y gesetzt wird, wodurch dann bei der Differentation allerdings ein dy/dx, nur ein Verhältniß herauskommt. Der Funktionen-Kalkul soll es allerdings mit Funktionen der Potenzirung oder die Differentialrechnung mit Differentialien zu thun haben, aber daraus folgt für sich noch keineswegs, daß die Größen, deren Differentialien oder Funktionen der Potenzirung genommen werden, selbst auch nur Funktionen anderer Größen seyn sollen. In dem theoretischen Theile, der Anweisung, die Differentiale, d. i. die Funktionen der Potenzirung abzuleiten, wird ohnehin noch nicht daran gedacht, daß die Größen, die nach solcher Ableitung zu behandeln gelehrt wird, selbst Funktionen anderer Größen seyn sollen.

Noch kann in Ansehung des Weglassens der Konstante bei dem Differentiiren bemerklich gemacht werden, daß dasselbe hier den Sinn hat, daß die Konstante für die Bestimmung der Wurzeln im Falle ihrer Gleichheit gleichgültig ist, als welche Bestimmung durch den Koefficienten des zweiten Gliedes der Gleichung erschöpft ist. Wie im angeführten Beispiele von Descartes die Konstante das Quadrat der Wurzeln selbst ist, also diese aus der Konstante ebenso wie aus den Koefficienten, bestimmt werden kann; indem sie überhaupt, wie die Koefficienten, Funktion der Wurzeln der Gleichung ist. In der gewöhnlichen Darstellung erfolgt das Wegfallen der sogenannten nur durch + und - mit den übrigen Gliedern verbundenen Konstanten durch den bloßen Mechanismus des Verfahrens, daß um das Differential eines zusammengesetzten Ausdrucks zu finden, nur den veränderlichen Größen ein Zuwachs gegeben, und der hierdurch formirte Ausdruck von dem ursprünglichen abgezogen wird. Der Sinn der Konstanten und ihres Weglassens inwiefern sie selbst Funktionen sind und nach dieser Bestimmung dienen oder nicht, kommt nicht zur Sprache.

Mit dem Weglassen der Konstanten, hängt eine ähnliche Bemerkung zusammen, die über die Namen von Differentation und Integration, gemacht werden kann, als früher über den endlichen und unendlichen Ausdruck gemacht wurde, daß nämlich in ihrer Bestimmung vielmehr das Gegentheil von dem liegt, was der Ausdruck besagt. Differentiiren bezeichnet das Setzen von Differenzen; durch das Differentiiren aber wird eine Gleichung vielmehr auf weniger Dimensionen herabgebracht, durch das Weglassen der Konstante wird ein Moment der Bestimmtheit hinweggenommen; wie bemerkt, werden die Wurzeln der veränderlichen Größe auf eine Gleichheit gesetzt, die Differenz also derselben aufgehoben. In der Integration hingegen soll die Konstante wieder hinzugesetzt werden; die Gleichung wird dadurch allerdings, aber in dem Sinne integrirt, daß die vorher aufgehobene Differenz der Wurzeln wieder hergestellt, das Gleichgesetzte wieder differentiirt wird. - Der gewöhnliche Ausdruck trägt dazu bei, die wesentliche Natur der Sache in Schatten zu setzen und Alles auf den untergeordneten, ja der Hauptsache fremdartigen Gesichtspunkt Theils der unendlich kleinen Differenz, des Increments und dergleichen, Theils der bloßen Differenz überhaupt zwischen der gegebenen und der abgeleiteten Funktion, ohne deren specifischen, d. i. den qualitativen Unterschied zu bezeichnen, zu stellen.

Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialkalkul Gebrauch gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres Gegenstandes, der Bewegung ergeben, sind deren Bedeutungen bereits beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen. Die Gleichung, nämlich der mathematische Ausdruck, der schlechtgleichförmigen Bewegung c = s/t oder s = ct, in welcher die durch offenen Räume den verflossenen Zeiten nach einer empirischen Einheit c, der Größe der Geschwindigkeit, proportionirt sind, bietet für die Differentation keinen Sinn dar; der Koefficient c ist bereits vollkommen bestimmt und bekannt, und es kann keine weitere Potenzenentwicklung Statt finden. - Wie s = at[hoch 2], die Gleichung der Bewegung des Falles, analysirt wird, ist früher schon erinnert; - das erste Glied der Analyse ds/dt = 2 at wird in die Sprache und resp. in die Existenz so übersetzt, es solle ein Glied einer Summe (- welche Vorstellung wir längst entfernt haben), der eine Theil der Bewegung seyn und zwar solle dieser der Kraft der Trägheit, d. i. einer schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit so zukommen, daß in den unendlich-kleinen Zeittheilen die Bewegung gleichförmig, in den endlichen Zeittheilen d. h. in der That existirenden aber ungleichförmig sey. Freilich ist fs = 2at; und die Bedeutung voll a und von t für sich bekannt, so wie daß hiermit die Bestimmung von gleichförmiger Geschwindigkeit einer Bewegung gesetzt ist; da a = s/[t[hoch 2]] ist 2 at = 2s/t überhaupt; damit aber weiß man im geringsten nichts weiter; nur die fälschliche Annahme, daß 2at ein Theil der Bewegung als einer Summe sey, giebt den fälschlichen Schein eines physikalischen Satzes. Der Faktor selbst, a, die empirische Einheit - ein Quantum als solches - wird der Schwere zugeschrieben; wenn die Kategorie der Kraft der Schwere gebraucht wird, so ist vielmehr zu sagen, daß eben das Ganze s = at[hoch 2] die Wirkung oder besser das Gesetz der Schwere ist. - Gleichmäßig ist der aus ds/dt = 2at abgeleitete Satz, daß wenn die Schwere aufhörte zu wirken, der Körper mit der am Ende seines Falles erlangten Geschwindigkeit den doppelten Raum von dem, welchen er durchloffen hat, in einer der Dauer seines Falles gleichen Zeit zurücklegen würde. - Es liegt hierin auch eine für sich schiefe Metaphysik; das Ende des Falles, oder das Ende eines Zeittheils, in welchem der Körper gefallen, ist immer selbst noch ein Zeittheil; wäre es kein Zeittheil, so wäre Ruhe und damit keine Geschwindigkeit angenommen, die Geschwindigkeit kann nur nach dem Raume angesetzt werden, welcher in einem Zeittheil, nicht an seinem Ende, durchloffen worden ist. - Wenn nun aber vollends in andern physikalischen Gebieten, wo gar keine Bewegung vorhanden ist, wie z. B. im Verhalten des Lichts (außer dem, was seine Fortpflanzung im Raume genannt wird) und Größenbestimmungen an den Farben, eine Anwendung der Differentialrechnung gemacht wird und die erste Funktion von einer quadratischen Funktion hier auch Geschwindigkeit genannt wird, so ist dieß für einen noch unstatthafteren Formalismus der Erdichtung von Existenz anzusehen. -

Bewegung, welche durch die Gleichung s = at[hoch 2] vorgestellt wird, finden wir, sagt Lagrange in der Erfahrung vom Falle der Körper; die einfachste Bewegung derselben würde die seyn, deren Gleichung s = ct[hoch 3] wäre, aber die Natur zeige keine Bewegung dieser Art; wir wüßten nicht was der Koefficient c bedeuten könnte. Wenn dem wohl so ist, so giebt es dagegen eine Bewegung, deren Gleichung s[hoch 3] = at[hoch 2] ist, - das kepplerische Gesetz der Bewegung der Körper des Sonnensystems; was hier die erste abgeleitete Funktion 2at/[3s [hoch 2]] u.s.f. bedeuten soll, und die fernere direkte Behandlung dieser Gleichung durch die Differentation, die Entwicklung der Gesetze und Bestimmungen jener absoluten Bewegung von diesem Ausgangspunkte aus, müßte dagegen wohl als eine interessante Aufgabe erscheinen, in welcher die Analysis im würdigsten Glanze sich zeigen würde.

Für sich bietet so die Anwendung des Differential-Kalkuls auf die elementarischen Gleichungen der Bewegung kein reelles Interesse dar; das formelle Interesse kommt von dem allgemeinen Mechanismus des Kalkuls. Eine andre Bedeutung aber erhält die Zerlegung der Bewegung in Beziehung auf die Bestimmung ihrer Trajektorie; wenn dieses eine Kurve ist und ihre Gleichung höhere Potenzen enthält, bedarf es der Uebergänge von geradlinigten Funktionen als Funktionen der Potenzirnng, zu den Potenzen selbst, und indem jene aus der ursprünglichen Gleichung der Bewegung, welche den Faktor der Zeit enthält, mit Elimination der Zeit zu gewinnen sind, ist dieser zugleich auf die niedrigern Entwicklungsfunktionen herabzusetzen, aus welchen jene Gleichungen linearer Bestimmungen erhalten werden können. Diese Seite führt auf das Interesse des andern Theils der Differentialrechnung.

Das Bisherige hat den Zweck gehabt, die einfache specifische Bestimmung des Differential-Kalkuls herauszuheben und festzustellen, und dieselbe in einigen der elementarischen Beispiele nachzuweisen. Diese Bestimmung hat sich ergeben darin zu bestehen, daß aus einer Gleichung von Potenzenfunktionen der Koefficient des Entwicklungsgliedes, die sogenannte erste Funktion gefunden, und das Verhältniß, welches diese ist, in Momenten des konkreten Gegenstands aufgewiesen werde, durch welche so erhaltene Gleichung zwischen den beiden Verhältnissen diese Momente selbst bestimmt sind. Es ist ebenso von dem Princip der Integralrechnung kurz zu betrachten, was sich aus dessen Anwendung, für die specifische konkrete Bestimmnng derselben ergiebt. Die Ansicht dieses Kalkuls ist dadurch schon vereinfacht und richtiger bestimmt worden, daß er nicht mehr als Summationsmethode genommen wird, wie er im Gegensatz gegen das Differentiiren, wo der Zuwachs als das wesentliche Ingrediens gilt, genannt wurde, und womit er in wesentlichem Zusammenhang mit der Form der Reihe erschien. - Die Aufgabe dieses Kalkuls ist zunächst ebenso die theoretische oder vielmehr formelle, als die der Differentialrechnung, bekanntlich aber die umgekehrte von dieser; - es wird hier von einer Funktion ausgegangen, die als abgeleitete, als der Koefficient des nächsten aus der Entwicklung einer aber noch unbekannten Gleichung entsprungenen Gliedes betrachtet wird, und aus ihr soll die ursprüngliche Potenzen-Funktion gefunden werden; die in der natürlichen Ordnung der Entwicklung als ursprünglich anzusehende wird hier abgeleitet und die früher als abgeleitet betrachtete ist hier die gegebene oder überhaupt die anfangende. Das Formelle dieser Operation scheint nun aber bereits durch den Differential-Kalkul geleistet zu seyn; indem darin überhaupt der Uebergang und das Verhältniß von der ursprünglichen zu der Entwicklungsfunktion festgestellt ist. Wenn hierbei Theils schon um die Funktion, von der auszugehen ist, anzusetzen, Theils aber den Uebergang von ihr zu der ursprünglichen zu bewerkstelligen, nothwendig in vielen Fällen zu der Form der Reihe die Zuflucht genommen werden muß, so ist zunächst festzuhalten, daß diese Form als solche mit dem eigenthümlichen Prinzip des Integrirens unmittelbar nichts zu thun hat.

Der andere Theil nun aber der Aufgabe des Kalkuls erscheint in Rücksicht auf die formelle Operation die Anwendung derselben. Diese ist nun selbst die Aufgabe, nämlich die Bedeutung in dem oben angegebenen Sinne zu kennen, welche die ursprüngliche Funktion von der gegebenen als ersten Funktion betrachteten eines besondern Gegenstandes hat. An sich könnte auch diese Lehre bereits in der Differentialrechnung ganz abgethan zu seyn scheinen; allein es tritt ein weiterer Umstand ein, der die Sache nicht so einfach seyn läßt. Indem nämlich in diesem Kalkul sich ergeben, daß durch die erste Funktion der Gleichung einer Kurve das Verhältniß, welches ein lineares ist, erhalten worden, so weiß man damit auch, daß die Integration dieses Verhältnisses die Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abscisse und Ordinate giebt; oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, daß diese Funktion die Ordinate als Funktion der Abscisse, hiermit die Gleichung der Kurve darstellte.

Nun kömmt es aber darauf an, welches von den Bestimmungsmomenten des Gegenstandes in der Gleichung selbst gegeben ist; denn nur von dem Gegebenen kann die analytische Behandlung den Ausgang nehmen und von da zu den übrigen Bestimmungen des Gegenstands übergehen. Es ist z. B. nicht die Gleichung eines Flächenraums der Kurve, noch etwa des durch ihre Umdrehung entstehenden Körpers, noch auch eines Bogens derselben, sondern nur das Verhältniß der Abscisse und Ordinate in der Gleichung der Kurve selbst gegeben. Die Uebergänge von jenen Bestimmungen zu dieser Gleichung selbst können daher nicht schon in der Differentialrechnung behandelt werden; es wird für die Integralrechnung aufgespart, diese Verhältnisse zu finden.

Ferner aber ist gezeigt worden, daß die Differentiirung der Gleichung von mehreren veränderlichen Größen, die Entwicklungspotenz oder Differential-Koefficienten, nicht als eine Gleichung, sondern nur als ein Verhältniß giebt; die Aufgabe ist dann für dieß Verhältniß, welches die abgeleitete Funktion ist, ein zweites in den Momenten des Gegenstandes anzugeben, das jenem gleich sey. Dagegen ist das Object der Integralrechnung das Verhältniß selbst der ursprünglichen zu der abgeleiteten, hier gegeben seyn sollenden Funktion, und die Aufgabe ist, die Bedeutung der zu findenden ursprünglichen Funktion in dem Gegenstande der gegebenen ersten Funktion anzugeben, oder vielmehr indem diese Bedeutung z. B. die Ebene einer Kurve oder die zu rectificirende, als geradlinigt vorgestellte Kurve u.s.f. schon als das Problem ausgesprochen ist, zu zeigen, daß solche Bestimmung durch eine ursprüngliche Funktion gefunden werde und welches das Moment des Gegenstandes sey, welches hierfür zur Ausgangs- (der abgeleiteten) Funktion, angenommen werden müsse.

Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel, ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes Elements der Ebene gebe. Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren Integration den Bogen als einen endlichen giebt.

Dieß Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise, daß die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem Verhältniß der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Theil eines mathematischen Gegenstandes (z. B. einer Kurve) als die abgeleitete Funktion angenommen werde, welcher andere Theil desselben durch die entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, daß wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche Funktion der Größenausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen Area der Kurve ist, daß wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens ausdrückt, u. s. f. daß nun aber diese Verhältnisse, das eine einer ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen zweier Theile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine Proportion bilden, dieß zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit demselben gebraucht. Das eigenthümliche Verdienst des Scharfsinns ist, aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu haben, daß gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes, in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion stehen.

Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt worden ist, die Funktion der Potenzirung, hier in diesem Kalkul die gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Theil oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf die ursprüngliche den andern Theil oder Bestimmung zu finden, deren Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt, sogleich gewisse Theile des Gegenstandes als unendlich klein, in der Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die Differentiirung bestimmen lassen, (- wie für die Rektifikation einer Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird, in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Theile bekannt sind, auch dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die Verbindung der Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks gebracht, für die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abscisse in die Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als Produkt von Linien angenommen ist. Der Uebergang von solchem sogenannten Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente, aus denen die verlangte Größe bestehen soll.

Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, daß die Integralrechnung bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der Differentialrechnung sey; das reelle Interesse der Integralrechnung geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältniß der ursprünglichen und der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.

Lagrange ist ebenso wenig in diesem Theile des Kalkuls darauf eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen Ganzen z. B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der abgeleiteten Funktion Statt finde. Dieß kann nun aber in diesem Felde vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung läßt sich so nur als die Mitte zwischen einem Größern und Kleinern auffassen. Hiermit tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und Minus ein, und das rüstige: Développons , ist an seiner Stelle; aber wie die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze und kleiner als die andere sey, wird dann z. B. hergeleitet, daß die Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion der Area ist.

Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird, indem er von dem archimedischen Princip ausgeht, hat das Interesse, die Uebersetzung der archimedischen Methode in das Princip der neuern Analysis einzusehen,

was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes thun läßt. Die Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen nothwendig analog; das archimedische Princip, daß der Bogen einer Kurve größer ist, als seine Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens, gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Punkten und ihrem Durchschnittspunkt enthalten sind, giebt keine direkte Gleichung. Die Uebertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine einfache Grundgleichung sey, während jene Form nur die Forderung aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer engern Grenzen giebt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen wird sogleich die Gleichung dz[hoch 2] = dx[hoch 2] + dy[hoch 2] angesetzt. Die lagrangesche Exposition ausgehend von der angegebenen Grundlage zeigt hingegen auf, daß die Größe des Bogens die ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das eigenthümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.

Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dieß so oft als eine Autorität für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialkalkul gemacht wird, angeführt worden, ohne daß das Eigenthümliche und Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die Grundbestimmung, daß das Quantum als solches der Bestimmungen, welche nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen genommen werden. Aber Theils ist hiermit das Affirmative überhaupt, welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative Größebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse liegend, sich ergeben hat; - Theils aber, indem dieß Verhältniß selbst wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der eben ausgehobenen lagrangeschen Exposition ist das bestimmte Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Große der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intraktable Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Theile, welche an dem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen. Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das Eigenthümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Kalkuls ist. Diese Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu thun war, zweckmäßig gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den gesammten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, daß das aufgezeigte Princip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, daß wie jede besondere Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältniß der Größe zu ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addiren, Multipliciren, das Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituirt, ebenso der Differential- und Integralkalkul; für das diesem Kalkul Angehörige möchte der Name des Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung oder Potenzirung der passendste seyn, weil er der Einsicht der Natur der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern Größenverhältnissen, wie Addiren u.s.f. bei diesem Kalkul überhaupt gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen- Kreis- und Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der erforderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den Entwicklungsfunktionen traktabler zu machen. Mit der Reiheform hat die Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse geineinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen die Koefficienten der Glieder heissen, zu bestimmen; aber indem das Interesse jenes Kalkuls nur auf das Verhältniß der ursprünglichen Funktion zu dem nächsten Koefficienten ihrer Entwicklung geht, will die Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Koefficienten versehen sind, geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche, das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung, welche im Unendlichen jenes Kalkuls liegt, nichts gemein. Ebenso ist das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die Entwickelung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels; die Reihe, da sie in der That es nicht ist, die verlangt wird, führt ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange's, der die Form der Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt; obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt wird, die wahre Eigenthümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die Formen von dx, dy u.s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt derjenige Theil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der abgeleiteten (- Entwickelungs -) Funktion zukommt, und es sich damit zeigt, daß die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich handelt.In der obenangeführten Kritik (Jahrb. für wissensch. Krit. II. B. 1827. Nr. 155. 6. folg.) finden sich interessante Aeußerungen eines gründlichen Gelehrten des Faches, Um. Spehr's, aus seinen neuen Principien des Fluentenkalkuls, Braunschw. 1826. angeführt, die nämlich einen Umstand betreffen, der wesentlich zu den Dunkelheiten und dem Unwissenschaftlichen in der Differentialrechnung beitrage, und stimmen mit dem überein, was über das allgemeine Verhältniß der Theorie dieses Kalkuls gesagt worden ist: "man hat" heißt es daselbst, "rein arithmetische Untersuchungen, welche freilich von allen ähnlichen zunächst auf die Differentialrechnung Bezug haben, nicht von der eigentlichen Diff.-Rechnung gesondert, ja diese Untersuchungen wohl gar, wie Lagrange, für die Sache selbst gehalten, während man diese nur als Anwendung jener ansah. Diese arithmetischen Untersuchungen begreifen die Regeln der Differentation, die Ableitung des taylorschen Lehrsatzes u.s.w. ja selbst die verschiedenen Integrationsmethoden in sich. Es ist ganz umgekehrt der Fall, jene Anwendungen sind es gerade, welche den Gegenstand der eigentlichen Differential-Rechnung ausmachen, und alle jene arithmetischen Entwicklungen und Operationen setzt sie aus der Analysis voraus." - Es ist aufgezeigt worden, wie bei Lagrange die Trennung der sogenannten Anwendung von dem Verfahren des allgemeinen Theils, das von den Reihen ausgeht, eben dazu dient, die eigenthümliche Sache der Differ.-Rechnung für sich zum Vorschein zu bringen. Aber bei der interessanten Einsicht des Hrn. Vfs., daß eben die sogenannten Anwendungen es sind, welche den Gegenstand der eigentlichen Differ.-Rechnung ausmachen, ist es zu verwundern, wie derselbe sich in die (ebendas. angeführte) formelle Metaphysik von kontinuirlicher Größe, Werden, Fließen u.s.f. hat einlassen und solchen Ballast noch mit neuem gar hat vermehren wollen; formell sind diese Bestimmungen, indem sie nur allgemeine Kategorien sind, welche eben das Specifische der Sache nicht angeben, die aus den konkreten Lehren, den Anwendungen, zu erkennen und zu abstrahiren war.

Anmerkung 3.
Noch andere mit der qualitativen Größenbestimmtheit zusammenhängende Formen.

Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher aufgezeigt worden, daß sie in diesem Kalkul als Potenzenbestimmtheit nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen, schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.

Es ist, indem wir vom Vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht zuerst daran zu erinnern, daß die unterschiedenen Potenzenbestimmungen von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, daß sie nur formell, und ganz homogen darin sind, daß sie Zahlengrößen bedeuten, die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als das Uebergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, daß die räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuirlichen Größen gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefaßt werden, die Fläche also als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f. Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu findenden Größebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und Gleichung für das Konkrete, die kontinuirliche Größe, abgeleitet werden soll. Für die Probleme, wo sich nornehmlich das Interesse zeigt, dieß Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich selbst Bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er im Gegentheil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das Gesetz des weitern Fortbestimmens finden läßt, ohne die geforderte vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können. Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener Umkehrung des Ganges gehabt und das Diskrete zum Ausgangspunkte gemacht zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, daß die Peripherie des Kreises ebenso viele Theile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Kontinuirlichen in die Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er

in dem Differentialkalkul haben soll. - Wenn nun für solche diskrete eine Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner zusammengefaßt werden, wesentlich als Elemente des Kontinuirlichen seyn. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien keine Fläche giebt, werden die Punkte schon sogleich als lineare genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene Lineare noch keine Linien seyn sollen, was sie seyn würden, wenn sie als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein vorgestellt. Das Diskrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens fähig, in welchem die Momente den Sinn von diskretem Eins behalten; der analytische Uebergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die lineare, dieser die Flächenqualität gegeben, damit die Summe als von kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.

Das Bedürfniß, dieß Moment des qualitativen Uebergangs zu erhalten und dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muß als die Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die größte Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst, welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Uebergang in eine höhere Dimension, - die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4 lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien mit Linien bietet sich zunächst als etwas Widersinniges dar, insofern die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße, - es ist, ductus lineae in lineam , wie plani in planum genannt worden, es ist auch ductus puncti in lineam - eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer Dimension; das Uebergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dieß dasselbe, was so vorgestellt wird, daß die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sey; aber die Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener Vorstellung mehr nur als eine zufällige, äußerliche Veränderung des Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Außersichkommen ausgedrückt worden, zu nehmen, - die qualitative Veränderung, und welche arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist. - Es kann hiezu noch bemerkt werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Princip hat, die feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative giebt, so sehr ist ihr Produciren formell; 3. 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst producirend ist 3. 3. 3. 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung sich producirend wird bei 3. 3. 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt, seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite, unter der geometrischen Bestimmung (im kepplerischen Gesetze s[hoch 3] : t[hoch 2]), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen steht, von Wirksamkeit zeigen.

Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit; hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche u.s.f. Der qualitative Uebergang nun, der von dem Diskreten, als in welches die kontinuirliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem Kontinuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.

Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine Multiplikation, also den Uebergang von der linearen in die Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summirt werden sollen.

Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu seyn, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der Schwierigkeit zu entgehen, daß eine Summe von Linien eine Fläche geben sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt, können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dieß letzte Quantum ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines Kontinuirlichen, - der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt, zugleich ein ductus lineae in lineam , Multipliciren von Linearem mit Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist. In dem einfachsten Falle nun eines Rektangels überhaupt a b ist jeder der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein Lineares, dessen Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist die Multiplikation, das Qualitative des Uebergangs aus der Dimension der Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich, wie dieser, die Größe eines Linearen.

Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu Behufe des Resultates Statt hat. Dieß geschieht, wo es nicht darum zu thun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in einer Proportion. Es ist z. B. eine bekannte Art zu zeigen, daß eine Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse, indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird geschlossen, verhalten auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere, die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen nothwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, daß die Vorstellung von Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit ankömmt.

Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die früher erwähnte Methode der Untheilbaren des Cavalleri, die damit ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen nicht bedarf. Diese Untheilbaren sind Linien, indem er eine Fläche, oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Konus u.s.f. betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Untheilbaren parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur betrachtet, Der allgemeine Grundsatz Cavalleri's ist nun, (Exerc. Geometr. VI. - das spätere Werk-Exerc. I. p. 6.), daß alle sowohl ebene, als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien sind, diese kollektive und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältniß in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen." - Er vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z. B. auch den elementarischen Satz, daß Parallelogramme von gleicher Höhe im Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, also die ganzen Figuren. In der That machen die Linien nicht den Inhalt der Figur als kontinuirlicher aus, aber den Inhalt, insofern er arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch welches allein die Bestimmtheit desselben gefaßt werden muß.

Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektiren, der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist, giebt man zu, daß der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z. B. die Gleichheit der Figuren, die sich decken, beruht darauf, daß die begrenzenden Linien sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der Figuren, ihr Verhältniß, beruht, führt ein zweites Princip der Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der euklidische Beweis von der Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben, führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuirliche; in Cavalleri's Beweis, zunächst über die Proportionalität von Parallelogrammen, ist die Grenze Größebestimmtheit als solche überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, explicirt wird, Diese gleichen oder in gleichem Verhältniß mit der Grundlinie stehenden Linien, kollektiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen Cavalleri giebt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von den Untheilbaren es mit sich führe, daß der Anzahl nach unendliche Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. 1. Schol.) ; er macht den richtigen Unterschied, daß er nicht die Anzahl derselben, welche wir nicht kennen, - d. i. vielmehr die, wie bemerkt worden, eine zu Hülfe genommene leere Vorstellung ist, - sondern nur die Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben Grenzen eingeschlossen; das Kontinuirliche ist nichts anderes, als die Untheilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt seyn, zu sagen, begrenzte Kontinuirliche seyen nicht miteinander vergleichbar.

Man sieht, daß Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des Kontinuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worin dessen Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die er dabei gebraucht, daß das Kontinuirliche aus den Untheilbaren zusammengesetzt sey oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht genügend, weil dabei die Anschauung des Kontinuirlichen oder, wie vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch genommen wird; statt zu sagen, "daß das Kontinuirliche nichts anderes ist, als die Untheilbaren selbst," würde es richtiger und damit auch sogleich für sich klar heißen, daß die Größebestimmtheit des Kontinuirlichen keine andere ist, als die der Untheilbaren selbst. - Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, daß es größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, daß die Untheilbaren das Kontinuirliche ausmachen, von der Schule gezogen werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere Bewußtseyn aus, daß er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung der Zusammensetzung des Kontinuirlichen aus dem Untheilbaren genöthigt sey; die Kontinuirlichen folgen nur der Proportion der Untheilbaren. Er habe die Aggregate der Untheilbaren nicht so genommen, wie sie in die Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, läßt er sich die Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe. - Diese Manier reducirt die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.

Ueber diese Form des Deckens kann zunächst noch diese Bemerkung gemacht werden, daß sie überhaupt eine so zu sagen kindliche Hülfe für die sinnliche Anschauung ist. In den elementarischen Sätzen über die Dreiecke werden zwei solche neben einander vorgestellt, und indem von ihren je sechs Stücken gewisse drei als gleich groß mit den entsprechenden drei des andern Dreiecks angenommen werden, so wird gezeigt, daß solche Dreiecke einander kongruent seyen, d. i. jedes auch die übrigen drei Stücke gleich groß mit denen des andern habe, - weil sie vermöge der Gleichheit nach jenen drei ersten einander decken. Die Sache abstrakter gefaßt, so ist eben um dieser Gleichheit jeden Paars der in beiden einander entsprechenden Stücke, nur Ein Dreieck vorhanden; in diesem sind drei Stücke als bereits bestimmt angenommen, woraus denn die Bestimmtheit auch der drei übrigen Stücke folgt. Die Bestimmtheit wird auf diese Weise als in drei Stücken vollendet aufgezeigt; für die Bestimmtheit als solche sind somit die drei übrigen Stücke ein Ueberfluß, der Ueberfluß der sinnlichen Existenz, d. i. der Anschauung der Kontinuität. In solcher Form ausgesprochen, tritt hier die qualitative Bestimmtheit im Unterschiede von dem hervor, was in der Anschauung vorliegt, dem Ganzen als einem in sich kontinuirlichen; das Decken läßt diesen Unterschied nicht zum Bewußtseyn kommen.

Mit den Parallellinien und bei den Parallelogrammen tritt, wie bemerkt worden, ein neuer Umstand, Theils die Gleichheit nur der Winkel Theils die Höhe der Figuren ein, von welcher letztern deren äußere Grenzen, die Seiten der Parallelogramme, unterschieden sind. Hierbei kommt die Zweideutigkeit zum Vorschein, inwiefern bei diesen Figuren außer der Bestimmtheit der einen Seite, der Grundlinie, welche als äußere Grenze ist, für die andere Bestimmtheit, die andere äußere Grenze, nämlich die andere Seite des Parallelogramms, oder aber die Höhe zu nehmen ist. Bei zwei solchen Figuren von einerlei Grundlinie und Höhe, wovon das eine rechtwinklich ist, das andere sehr spitze, damit zu den gegenüberstehenden sehr stumpfe Winkel hat, kann der Anschauung letzteres leicht größer scheinen, als das erstere, insofern sie die vorliegende große Seite desselben als bestimmend nimmt, und nach der Vorstellungsweise Cavalleri's die Ebenen nach einer Menge von parallelen Linien, durch welche sie durchschnitten werden können, vergleicht; die größere Seite könnte als eine Möglichkeit von mehrern Linien, als die senkrechte Seite des Rechtecks giebt, angesehen werden. Solche Vorstellung giebtjedoch keinen Einwurf gegen Cavalleri's Methode an die Hand; denn die in beiden Parallelogrammen für die Vergleichung vorgestellte Menge von parallelen Linien setzt die Gleichheit ihrer Entfernung von einander oder von der Grundlinie zugleich voraus, woraus folgt, daß die Höhe, und nicht die andere Seite des Parallelogramms, das andere bestimmende Moment ist. Dieß ändert sich aber ferner, wenn zwei Parallelogramme mit einander verglichen werden, die von gleicher Höhe und Grundlinie sind, aber nicht in Einer Ebene liegen, und zu einer dritten Ebene verschiedene Winkel machen; hier sind die parallelen Durchschnitte, die entstehen, wenn man sich die dritte Ebene durch sie gelegt und sich parallel mit sich fortbewegend vorstellt, nicht mehr gleich weit von einander entfernt, und jene zwei Ebenen sind einander ungleich. Cavalleri macht sehr sorgfältig auf diesen Unterschied, den er als einen Unterschied von transitus rectus und transitus obliquus der Untheilbaren bestimmt, (gleich in Exercit. I. n. XII. ff. wie schon in der Geometr. I. II.) auf merksam, und schneidet damit oberflächlichen Mißverstand ab, der nach dieser Seite entstehen könnte. Ich erinnere mich, daß Barrow in seinem obenangeführten Werke (Lect. Geom. II. p. 21), indem er die Methode der Untheilbaren gleichfalls gebraucht, jedoch sie bereits mit der von ihm aus auf seinen Schüler Newton und die sonstigen mathematischen Zeitgenossen, darunter auch Leibnitz, übergegangenen Annahme der Gleichsetzbarkeit eines krummlinigten Dreiecks, wie das sogenannte charakteristische ist, mit einem geradlinigten, insofern beide unendlich d. h. sehr klein seyen, versetzt und verunreinigt hat, - einen eben dahin gehenden Einwurf Tacquet's, eines damaligen in neuen Methoden gleichfalls thätigen, scharfsinnigen Geometers, anführte. Die von diesem gemachte Schwierigkeit bezieht sich ebenfalls darauf, welche Linie und zwar bei Berechnung konischer und sphärischer Oberflächen als Grundmoment der Bestimmung für die auf Anwendung des Diskreten gestützte Betrachtung genommen werden solle. Tacquet wende gegen die Methode der Untheilbaren ein, daß wenn die Oberfläche eines rechtwinklichten Kegels berechnet werden solle, so werde nach jener atomistischen Methode das Dreieck des Kegels als zusammengesetzt aus den geraden, mit der Grundlinie parallelen auf die Achse senkrechten Linien vorgestellt, welche zugleich die Radien der Kreise sind, aus denen die Oberfläche des Kegels bestehe. Wenn nun diese Oberfläche als Summe der Peripherien, und diese Summe aus der Anzahl ihrer Radien, d. i. der Größe der Achse, der Höhe des Kegels, bestimmt werde, so sey solches Resultat mit der sonst von Archimed gelehrten und bewiesenen Wahrheit im Widerspruch. Barrow zeigt nun dagegen, daß für die Bestimmung der Oberfläche nicht die Achse, sondern die Seite des Dreiecks des Kegels als diejenige Linie genommen werden müsse, deren Umdrehung die Oberfläche erzeuge, und welche daher, und nicht die Achse, als die Größebestimmtheit für die Menge der Peripherien angenommen werden müsse.

Dergleichen Einwürfe oder Unsicherheiten haben ihre Quelle allein in der gebrauchten unbestimmten Vorstellung der unendlichen Menge von Punkten, aus denen die Linie, oder von Linien, aus denen die Fläche u.s.f. bestehend angesehen wird; durch diese Vorstellung wird die wesentliche Größebestimmtheit der Linien oder Flächen in Schatten gestellt. - Es ist die Absicht dieser Anmerkungen gewesen, die affirmativen Bestimmungen, die bei dem verschiedenen Gebrauch, der von dem Unendlich-kleinen in der Mathematik gemacht wird, so zu sagen im Hintergrunde bleiben, aufzuweisen und sie aus der Nebulosität hervorzuheben, in welche sie durch jene bloß negativ gehaltene Kategorie gehüllt werden. Bei der unendlichen Reihe, wie in der archimedischen Kreismessung bedeutet das Unendliche nichts weiter, als daß das Gesetz der Fortbestimmung bekannt ist, aber der sogenannte endliche Ausdruck, d. i. der arithmetische, nicht gegeben, die Zurückführung des Bogens auf die gerade Linie nicht bewerkstelligt werden kann; diese Inkommensurabilität ist die qualitative Verschiedenheit derselben. Die qualitative Verschiedenheit des Diskreten mit dem Kontinuirlichen überhaupt, enthält gleichfalls eine negative Bestimmung, welche sie als inkommensurabel erscheinen läßt, und das Unendliche herbeiführt, in dem Sinne, daß das als diskret zu nehmende Kontinuirliche nun kein Quantum nach seiner kontinuirlichen Bestimmtheit mehr haben soll. Das Kontinuirliche, das arithmetisch als Produkt zu nehmen ist, ist damit diskret an ihm selbst gesetzt, nämlich in die Elemente, die seine Faktoren sind, zerlegt; in diesen liegt seine Größebestimmtheit; sie sind als ebendamit, daß sie diese Faktoren oder Elemente sind, von einer niedrigern Dimension, und insofern die Potenzenbestimmtheit eintritt, von einer niedrigern Potenz als die Größe, deren Elemente oder Faktoren sie sind. Arithmetisch erscheint dieser Unterschied als ein bloß quantitativer, der Wurzel und der Potenz oder welcher Potenzenbestimmtheit es sey; jedoch wenn der Ausdruck nur auf das Quantitative als solches geht, z. B. a : a[hoch 2] oder d.a[hoch 2] = 2a : a[hoch 2] = 2 : a, oder für das Gesetz des Falles, t : at[hoch 2] so giebt er die nichtssagenden Verhältnisse von 1 : a, 2 : a, 1: at; die Seiten müßten gegen ihre bloß quantitative Bestimmung durch die unterschiedene qualitative Bedeutung auseinander gehalten werden, wie s : at[hoch]2; wodurch die Größe als eine Qualität ausgesprochen wird, als Funktion der Größe einer andern Qualität. Hierbei steht dann bloß die quantitative Bestimmtheit vor dem Bewußtseyn, mit der nach ihrer Art ohne Schwierigkeit operirt wird, und man kann kein Arges daran haben, die Größe einer Linie mit der Größe einer andern Linie zu multipliciren; aber die Multiplikation dieser selben Größen giebt zugleich die qualitative Veränderung des Ueberganges von Linie in Fläche; insofern tritt eine negative Bestimmung ein; sie ist es, welche die Schwierigkeit veranlaßt, die durch die Einsicht in ihre Eigenthümlichkeit und in die einfache Natur der Sache gelöst, aber durch die Hilfe des Unendlichen, wodurch sie beseitigt werden soll, vielmehr nur in Verworrenheit gesetzt und ganz unaufgelöst erhalten wird.

Anmerkung.

Um ein Beispiel anzuführen, so ist die Temperatur eine Qualität, an der diese beiden Seiten, äußerliches und specificirtes Quantum zu seyn, sich unterscheiden. Als Quantum ist sie äußerliche Temperatur und zwar auch eines Körpers als allgemeinen Mediums, von der angenommen wird, daß ihre Veränderung an der Skale der arithmetischen Progression fortgehe und daß sie gleichförmig zu- oder abnehme, wogegen sie von den verschiedenen in ihr befindlichen besondern Körpern verschieden aufgenommen wird, indem dieselben durch ihr immanentes Maaß die äußerlich empfangene Temperatur bestimmen, die Temperatur-Veränderung derselben nicht der des Mediums oder ihrer untereinander im direkten Verhältnisse entspricht. Verschiedene Körper in einer und derselben Temperatur verglichen, geben Verhältnißzahlen ihrer specifischen Wärmen, ihrer Wärme-Kapacitäten. Aber diese Kapacitäten der Körper ändern sich in verschiedenen Temperaturen, womit das Eintreten einer Veränderung der specifischen Gestalt sich verbindet. In der Vermehrung oder Verminderung der Temperatur zeigt sich somit eine besondere Specifikation. Das Verhältniß der Temperatur, die als äußerliche vorgestellt wird, zur Temperatur eines bestimmten Körpers, die zugleich von jener abhängig ist, hat nicht einen festen Verhältnissexponenten; die Vermehrung oder Verminderung dieser Wärme geht nicht gleichförmig mit der Zu- und Abnahme der äußerlichen fort. - Es wird hierbei eine Temperatur als äußerlich überhaupt angenommen, deren Veränderung bloß äußerlich oder rein quantitativ sey. Sie ist jedoch selbst Temperatur der Luft oder sonst specifische Temperatur. Näher betrachtet würde daher das Verhältniß eigentlich nicht als Verhältniß von einem bloß quantitativen zu einem qualificirenden, sondern von zwei specifischen Quantis zu nehmen seyn. Wie sich das specificirende Verhältniß gleich weiter bestimmen wird, daß die Momente des Maaßes nicht nur in einer quantitativen und einer das Quantum qualificirenden Seite einer und derselben Qualität bestehen, sondern im Verhältnisse zweier Qualitäten, welche an ihnen selbst Maaße sind.

Anmerkung.

Das hier Erörterte in Rücksicht des Zusammenhangs der qualitativen Natur eines Daseyns und seiner Quantitätsbestimmung im Maaße, hat seine Anwendung in dem schon angedeuteten Beispiel der Bewegung, zunächst daß in der Geschwindigkeit, als dem direkten Verhältnisse von durchlaufenem Raume und verflossener Zeit, die Größe der Zeit als Nenner, die Größe des Raums dagegen als Zähler, angenommen wird. Wenn Geschwindigkeit überhaupt nur ein Verhältniß vom Raum und der Zeit einer Bewegung ist, so ist es gleichgültig, welches von beiden Momenten als die Anzahl oder als die Einheit betrachtet werden soll. Aber Raum, wie in der specifischen Schwere das Gewicht, ist äußerliches, reales Ganzes überhaupt, somit Anzahl, die Zeit hingegen, wie das Volumen, ist das Ideelle, das Negative, die Seite der Einheit. - Wesentlich aber gehört hierher das wichtigere Verhältniß, daß in der freien Bewegung, - zuerst der noch bedingten -, des Falls, Zeit- und Raum-Quantität, jene als Wurzel, diese als Quadrat, - oder in der absolutfreien Bewegung der Himmelskörper die Umlaufszeit und die Entfernung, jene um eine Potenz tiefer als diese, - jene als Quadrat, diese als Kubus gegen einander bestimmt seyen. Dergleichen Grundverhältnisse beruhen auf der Natur der im Verhältniß stehenden Qualitäten, des Raums und der Zeit, und der Art der Beziehung, in welcher sie stehen, entweder als mechanische Bewegung d. i. als unfreie, durch den Begriff der Momente nicht bestimmte, oder als Fall d. i. bedingtfreie, oder als absolutfreie himmlische Bewegung; - welche Arten der Bewegung ebensowohl als deren Gesetze auf der Entwicklung des Begriffs ihrer Momente, des Raums und der Zeit, beruhen, indem diese Qualitäten als solche, an sich d. i. im Begriffe sich als untrennbar erweisen, und ihr quantitatives Verhältniß das Fürsichseyn des Maaßes, nur Eine Maaßbestimmung ist.

In Rücksicht auf die absoluten Maaßverhältnisse darf wohl erinnert werden, daß die Mathematik der Natur, wenn sie des Namens von Wissenschaft würdig seyn will, wesentlich die Wissenschaft der Maaße seyn müsse, - eine Wissenschaft für welche empirisch wohl viel, aber eigentlich wissenschaftlich d. i. philosophisch, noch wenig gethan ist. Mathematische Principien der Naturphilosophie, - wie Newton sein Werk genannt hat, - wenn sie diese Bestimmung in einem tiefern Sinn erfüllen sollten, als er und das ganze bakonische Geschlecht von Philosophie und Wissenschaft hatte, müßten ganz andere Dinge enthalten, um ein Licht in diese noch dunkeln aber höchst betrachtungswürdigen Regionen zu bringen. - Es ist ein großes Verdienst, die empirischen Zahlen der Natur kennen zu lernen, z. B. Entfernungen der Planeten von einander; aber ein unendlich größeres, die empirischen Quanta verschwinden zu machen, und sie in eine allgemeine Form von Quantitätsbestimmungen zu erheben, so daß sie Momente eines Gesetzes oder Maaßes werden; - unsterbliche Verdienste, die sich z. B. Galilei in Rücksicht auf den Fall, und Keppler in Rücksicht auf die Bewegung der himmlischen Körper erworben hat. Sie haben die Gesetze, die sie gefunden haben, so erwiesen, daß sie gezeigt haben, daß ihnen der Umfang der Einzelnheiten der Wahrnehmung entspricht. Es muß aber noch ein höheres Beweisen dieser Gesetze gefordert werden; nämlich nichts anders als daß ihre Quantitätsbestimmungen aus den Qualitäten, oder bestimmten Begriffen, die bezogen sind, (wie Zeit und Raum) erkannt werden. Von dieser Art des Beweisens findet sich in jenen mathematischen Principien der Naturphilosophie, so wie in den fernern Arbeiten dieser Art, noch keine Spur. Es ist oben bei Gelegenheit des Scheins mathematischer Beweise von Naturverhältnissen, der sich auf den Mißbrauch des Unendlichkleinen gründet, bemerkt worden, daß der Versuch, solche Beweise eigentlich mathematisch d. h. weder aus der Empirie noch aus dem Begriffe, zu führen, ein widersinniges Unternehmen ist. Diese Beweise setzen ihre Theoreme, eben jene Gesetze, aus der Erfahrung voraus; was sie leisten, besteht darin, sie auf abstrakte Ausdrücke und bequeme Formeln zu bringen. Das ganze reelle Verdienst, das Newton im Vorzug gegen Keppler in Beziehung auf die nämlichen Gegenstände zugeschrieben wird, wird, das Scheingerüste von Beweisen abgezogen, - ohne Zweifel bei gereinigterer Reflexion über das, was die Mathematik zu leisten vermag und was sie geleistet hat, einst mit deutlicher Kenntniß auf jene Umformung des Ausdrucks S Encyklop. der philos. Wissensch. Anm. zu _. 270. über die Umformung des kepplerischen s[hoch 3]/t[hoch 2] in [s[hoch 2]./t[hoch 2] in das newtonische, indem der Theil s/t[hoch 2] die Kraft der Schwere genannt worden ist. und der den Anfängen nach eingeführten analytischen Behandlung, eingeschränkt werden.

Anmerkung.

Die chemischen Stoffe sind die eigenthümlichsten Beispiele solcher Maaße, welche Maaßmomente sind, die dasjenigr, was ihre Bestimmung ausmacht, allein im Verhalten zu andern haben. Säuren und Kalien oder Basen überhaupt erscheinen als unmittelbar an sich bestimmte Dinge, aber vielmehr als unvollkommene Körperelemente, als Bestandtheile, die eigentlich nicht für sich existiren, sondern nur diese Existenz haben, ihr isolirtes Bestehen aufzuheben und sich mit einem andern zu verbinden. Der Unterschied ferner, wodurch sie als selbstständige sind, besteht nicht in dieser unmittelbaren Qualität, sondern in der quantitativen Art und Weise des Verhaltens. Er ist nämlich nicht auf den chemischen Gegensatz von Säure und Kali oder Basis überhaupt, eingeschränkt, sondern ist zu einem Maaße der Sättigung specificirt, und besteht in der specifischen Bestimmtheit der Quantität der sich neutralisirenden Stoffe. Diese Quantitäts-Bestimmung in Rücksicht auf die Sättigung macht die qualitative Natur eines Stoffes aus, sie macht ihn zu dem, was er für sich ist, und die Zahl, die dieß ausdrückt, ist wesentlich einer von mehrern Exponenten für eine gegenüber stehende Einheit. - Solcher Stoff steht mit einem andern in sogenannter Verwandtschafft; insofern diese Beziehung rein qualitativer Natur bliebe, so wäre, - wie die Beziehung der magnetischen Pole oder der Elektricitäten, - die eine Bestimmtheit nur die negative der andern, und beide Seiten zeigten sich nicht auch zugleich gleichgültig gegeneinander. Aber weil die Beziehung auch quantitativer Natur ist, ist jeder dieser Stoffe fähig mit Mehrern sich zu neutralisiren, und nicht auf einen gegenüber stehenden eingeschränkt. Es verhält sich nicht nur die Säure und das Kali oder Basis, sondern Säuren und Kalien oder Basen zu einander. Sie charakterisiren sich zunächst dadurch gegen einander, je nachdem eine Säure z. B. von einem Kali mehr bedarf um sich mit ihm zu sättigen, als eine andere. Aber die fürsichseyende Selbstständigkeit zeigt sich darin, daß die Verwandtschaften sich ausschließend verhalten und eine vor der andern den Vorzug hat, indem für sich eine Säure mit allen Kalien, und umgekehrt, eine Verbindung eingehen kann. Es macht so den Hauptunterschied einer Säure gegen eine andere aus, ob sie zu einer Basis eine nähere Verwandtschaft habe, als eine andere, d. i. eine sogenannte Wahlverwandschaft.

Ueber die chemischen Verwandtschaften der Säuren und Kalien ist das Gesetz gefunden worden, daß wenn zwei neutrale Solutionen gemischt werden, wodurch eine Scheidung und daraus zwei neue Verbindungen entstehen, diese Produkte gleichfalls neutral sind. Es folgt hieraus, daß die Mengen von zwei kalischen Basen, die zur Sättigung einer Säure erfordert werden, in demselben Verhältnisse zur Sättigung einer andern nöthig sind; überhaupt wenn für ein Kali als Einheit genommen die Reihe der Verhältnißzahlen bestimmt worden ist, in denen die verschiedenen Säuren dasselbe sättigen, so ist für jedes andere Kali diese Reihe dieselbe, nur daß die verschiedenen Kalien gegen einander in verschiedenen Anzahlen zu nehmen sind; - Anzahlen, die wieder ihrer Seits eine eben solche beständige Reihe von Exponenten für jede der gegenüber stehenden Säuren bilden, indem sie ebenso zujeder einzelnen Säure sich in demselben Verhältnisse beziehen, als zujeder andern. - Fischer hat zuerst diese Reihen aus den richterischen Arbeiten in ihrer Einfachheit herausgehoben; s. in s. Anmerkungen zur Uebersetzung von Berthollets Abhandlung über die Gesetze der Verwandtschaft in der Chemie, S. 232. und Berthollet Statique chimique I. Part. p. 134. ff. - Die, seit dieß zuerst geschrieben worden, nach allen Seiten hin so sehr ausgebildete Kenntniß von den Verhältnißzahlen der Mischungen der chemischen Elemente, hier berücksichtigen zu wollen, würde auch darum eine Abschweifung seyn, da diese empirische zu einem Theil aber auch nur hypothetische Erweiterung innerhalb derselben Begriffsbestimmungen eingeschlossen bleibt. Aber über die dabei gebrauchten Kategorien, ferner über die Ansichten der chemischen Wahlverwandtschaft selbst und ihrer Beziehung auf das Quantitative, so wie über den Versuch, dieselbe auf bestimmte physikalische Qualitäten zu gründen, mögen noch einige Bemerkungen hinzugefügt werden.

Bekanntlich hat Berthollet die allgemeine Vorstellung von der Wahlverwandtschaft durch den Begriff von der Wirksamkeit einer chemischen Masse modificirt. Diese Modification hat, was wohl zu unterscheiden ist, auf die Quantitäts-Verhältnisse der chemischen Sättigungs-Gesetze selbst keinen Einfluß, aber das qualitative Moment der ausschließenden Wahlverwandtschaft als solcher wird nicht nur geschwächt, sondern vielmehr aufgehoben. Wenn zwei Säuren auf ein Kali wirken, und diejenige, von welcher gesagt wird, daß sie eine größere Verwandtschaft zu derselben habe, auch in dem Quantum vorhanden ist, welches fähig ist, das Quantum der Basis zu sättigen, so erfolgt nach der Vorstellung der Wahlverwandtschaft nur diese Sättigung; die andere Säure bleibt ganz unwirksam und von der neutralen Verbindung ausgeschlossen. Nach jenem Begriffe der Wirksamkeit einer chemischen Masse hingegen, ist jede von beiden wirksam in einem Verhältniß, das aus ihrer vorhandenen Menge und ihrer Sättigungsfähigkeit oder sogenannten Affinität zusammengesetzt ist. Berthollets Untersuchungen haben die nähern Umstände angegeben, unter welchen die Wirksamkeit der chemischen Masse aufgehoben wird, und eine (stärker verwandte) Säure die andere (schwächere) auszutreiben und deren Wirkung auszuschließen, somit nach dem Sinne der Wahlverwandtschaft thätig zu seyn scheint. Er hat gezeigt, daß es Umstände, wie die Stärke der Kohäsion, Unauflösbarkeit der gebildeten Salze im Wasser, sind, unter welchen jenes Ausschließen Statt findet, nicht die qualitative Natur der Agentien als solche, - Umstände, welche wieder durch andere Umstände z. B. die Temperatur in ihrer Wirkung aufgehoben werden können. Mit der Beseitigung dieser Hindernisse tritt die chemische Masse unverkümmert in Wirksamkeit, und das, was als rein qualitatives Ausschließen, als Wahlverwandtschaft erschien, zeigt sich nur in äußerlichen Modifikationen zu liegen.

Berzelius wäre es vornehmlich, der weiter über diesen Gegenstand zu hören ist. Derselbe stellt aber in seinem Lehrbuche der Chemie über die Sache nichts Eigenthümliches und Bestimmteres auf. Es sind die berthollet'schen Ansichten aufgenommen und wörtlich wiederhohlt, nur mit der eigenthümlichen Metaphysik einer unkritischen Reflexion ausstaffirt worden, deren Kategorien also allein sich für die nähere Betrachtung darbieten. Die Theorie geht über die Erfahrung hinaus, und erfindet Theils sinnliche Vorstellungen, wie sie nicht selbst in der Erfahrung gegeben sind, Theils wendet sie Denkbestimmungen an, und macht sich auf beide Weise zum Gegenstande logischer Kritik. Wir wollen daher das in jenem Lehrbuche selbst III. Band I. Abth. (übers. von Wöhler S. 82. ff) über die Theorie Vorgetragene vornehmen. Daselbst nun liest man, "daß man sich vorstellen müsse, in einer gleichförmig gemischten Flüssigkeit sey ein jedes Atom vom aufgelösten Körper von einer gleichen Anzahl von Atomen des Auflösungsmittels umgeben; und wenn mehrere Substanzen zusammen aufgelöst sind, so müssen sie die Zwischenräume zwischen den Atomen des Auflösungsmittels unter sich theilen, so daß, bei einer gleichförmigen Mischung der Flüssigkeit, eine solche Symmetrie in der Lage der Atome entstehe, daß alle Atome der einzelnen Körper sich in Beziehung zu den Atomen der andern Körper in einer gleichförmigen Lage befinden; man könne daher sagen, daß die Auflösung durch die Symmetrie in der Stellung der Atome, so wie die Verbindung durch die bestimmten Proportionen charakterisirt sey." - Dieß wird hierauf durch ein Beispiel der Verbindungen erläutert, die aus einer Auflösung von Kupferchlorid, zu welcher Schwefelsäure hinzugesetzt wird, entstehen; aber an diesem Beispiele wird freilich weder aufgezeigt, daß Atome existiren, noch daß eine Anzahl von Atomen der aufgelösten Körper Atome der Flüssigkeit umgeben, freie Atome der beiden Säuren sich um die (mit dem Kupferoxid) verbunden bleibenden lagern, noch daß die Symmetrie in der Stellung und Lage, noch daß Zwischenräume zwischen den Atomen existiren, - am allerwenigsten daß die aufgelösten Substanzen die Zwischenräume der Atome des Auflösungsmittels unter sich theilen. Dieß hiesse, daß die aufgelösten da ihre Stellung nehmen, wo das Auflösungsmittel nicht ist, - denn die Zwischenräume desselben sind die von ihm leeren Räume, - somit daß die aufgelösten Substanzen sich nicht im Auflösungsmittel befinden, sondern wenn auch dasselbe umgebend und umlagernd, oder von demselben umgeben und umlagert, - außerhalb desselben, also gewiß auch von ihm nicht aufgelöst sind. Man sieht somit nicht ein, daß man sich solche Vorstellungen machen müsse, welche in der Erfahrung nicht aufgezeigt sind, im Wesentlichen sich sogleich widersprechen, und sonst auf andere Weise nicht erhärtet sind. Dieß könnte nur durch die Betrachtung dieser Vorstellungen selbst, d. i. durch Metaphysik, welche Logik ist, geschehen, durch diese aber werden sie so wenig als durch die Erfahrung bestätigt, - im Gegentheil! - Uebrigens giebt Berzelius zu, was auch oben gesagt worden, daß die Sätze Berthollets der Theorie von den bestimmten Proportionen nicht entgegen seyen, - er fügt freilich hinzu, daß sie auch den Ansichten von der Korpuskularphilosophie, d. i. der vorhin angeführten Vorstellungen von den Atomen, der Erfüllung der Zwischenräume der auflösenden Flüssigkeit durch die Atome der festen Körper u.s.f. nicht entgegen seyen, - diese letztere grundlose Metaphysik hat aber wesentlich nichts mit den Proportionen der Sättigung selbst zu thun. Das Specifische, was in den Sättigungsgesetzen ausgedrückt ist, betrifft somit nur die Menge von selbst quantitativen Einheiten (nicht Atomen) eines Körpers, mit welcher sich die quantitative Einheit (ebenso wenig ein Atom) eines andern gegen erstern chemisch differenten Körpers neutralisirt; die Verschiedenheit besteht allein in diesen verschiedenen Proportionen. Wenn dann Berzelius, ungeachtet seine Proportionenlehre ganz nur eine Bestimmung von Mengen ist, doch auch von Affinitätsgraden spricht, z. B. S. 86. indem er die chemische Masse Berthollets als die Summe des Affinitätsgrades aus der vorhandenen Quantität des wirksamen Körpers erklärt, statt dessen Berthollet consequenter den Ausdruck capacité de saturation gebraucht, so verfällt er damit selbst in die Form intensiver Größe. Dieß ist aber die Form, welche das Eigenthümliche der sogenannten dynamischen Philosophie ausmacht, die er früher S. 29. a. a. O. "die speculative Philosophie gewisser deutschen Schulen" nennt, und zum Besten der vortrefflichen "Korpuskularphilosophie" nachdrücklich verwirft. Von dieser dynamischen Philosophie giebt er dort an, daß sie annehme, die Elemente in ihrer chemischen Vereinigung durchdringen sich, und die Neutralisation bestehe in dieser gegenseitigen Durchdringung; dieß heißt nichts Anders, als daß die chemisch differenten Partikeln, die als Menge gegeneinander sind, in die Einfachheit einer intensiven Größe zusammengehen, was sich auch als Verminderung des Volums kund giebt. Dagegen sollen in der Korpuskulartheorie auch die chemisch verbundenen Atome sich in den Zwischenräumen, d. h. außereinander erhalten, (Juxtaposition); Grad der Affinität hat in solchem Verhalten als einer nur extensiven Größe, eines Perennirens von Menge, keinen Sinn. Wenn ebendas angegeben wird, daß die Erscheinungen der bestimmten Proportionen für die dynamische Ansicht ganz unvorgesehen gekommen seyen, so wäre dieß nur ein äußerlicher historischer Umstand, abgesehen davon, daß die richterschen stöchiometrischen Reihen, in der fischerschen Zusammenstellung bereits Berthollet bekannt und in der ersten Ausg. dieser Logik, welche die Nichtigkeit der Kategorien erweist, auf denen die alte wie die neuseynwolleude Korpuskulartheorie beruht, angeführt sind. Irrthümlich aber urtheilt Berzelius als ob unter der Herrschaft "der dynamischen Ansicht" die Erscheinungen der bestimmten Proportionen "für immer" unbekannt geblieben wären, - in dem Sinne, daß jene Ansicht sich nicht mit der Bestimmtheit der Proportionen vertrüge. Diese ist auf allen Fall nur Größebestimmtheit, gleichgültig ob in extensiver und intensiver Form, - so daß auch Berzelius, so sehr er an der erstern Form, der Menge, hängt, selbst die Vorstellung von Affinitätsgraden gebraucht.

Indem hiermit die Verwandschaft auf den quantitativen Unterschied zurückgeführt ist, ist sie als Wahlverwandschaft aufgehoben; das Ausschließende aber, das bei derselben Statt findet, ist auf Umstände zurückgeführt, d. i. auf Bestimmungen, welche als etwas der Verwandschaft Aeußerliches erscheinen, auf Kohäsion, Unauflöslichkeit der zu Stande gekommenen Verbindungen u.s.f. Es kann mit dieser Vorstellung zum Theil das Verfahren bei der Betrachtung der Wirkung der Schwere verglichen werden, wo das, was an sich der Schwere selbst zukommt, daß der bewegte Pendel durch sie nothwendig zur Ruhe übergeht, nur als der zugleich vorhandene Umstand des äußern Widerstands der Luft des Fadens u.s.f. genommen und der Reibung allein statt der Schwere zugeschrieben wird. - Hier für die Natur des Qualitativen, welches in der Wahlverwandschaft liegt, macht es keinen Unterschied, ob dasselbe in der Form jener Umstände als seiner Bedingungen erscheint und aufgefaßt wird. Es beginnt mit dem Qualitativen als solchen eine neue Ordnung, deren Specifikation nicht mehr nur quantitativer Unterschied ist.

Wenn nun sonach der Unterschied der chemischen Affinität in einer Reihe quantitativer Verhältnisse sich genau feststellt gegen die Wahlverwandsehaft als eintretender qualitativer Bestimmtheit, deren Verhalten mit jener Ordnung keineswegs zusammenfällt, so wird dieser Unterschied wieder in völlige Verwirrung durch die Art geworfen, in welcher mit dem chemischen Verhalten das elektrische in neuern Zeiten in Verbindung gebracht wird, und die Hoffnung von diesem tiefer seyn sollenden Princip aus über das wichtigste, das Maaßverhältniß, einen Aufschluß zu erhalten, wird gänzlich getäuscht. Diese Theorie, in welcher die Erscheinungen der Elektricität und des Chemismus vollkommen identificirt werden, insofern sie das Physikalische und nicht bloß die Maaßverhältnisse betrifft, ist hier nicht in nähere Betrachtung zu nehmen, und nur insofern zu erwähnen, als die Unterschiedenheit der Maaßbestimmungen dadurch verworren wird. Für sich selbst ist sie seicht zu nennen, weil die Seichtigkeit darin besteht, das Verschiedene mit Weglassung der Verschiedenheit identisch zu nehmen. War hierbei die Affinität betrifft, so ist sie, indem so chemische Processe mit elektrischen, ingleichen mit Feuer und Licht-Erscheinungen, identificirt werden, "auf Neutralisation entgegengesetzter Electricitäten" reducirt worden. Die Identifikation der Elektricität und des Chemismus selbst ist es beinahe komisch (S. 63. a. a. O.) in folgender Weise dargestellt zu finden, daß "die eletrischen Phänomene wohl die Wirkung der Körper auf größern oder geringern Abstand, ihre Anziehung vor der Vereinigung (d. i. das noch nicht chemische Verhalten) - und das durch diese Vereinigung entstehende Feuer (?) wohl erklären, aber uns über die Ursache der mit einer so großen Kraft, nach Vernichtung des entgegengesetzten elektrischen Zustandes, fortdauernden Vereinigung der Körper keinen Aufschluß geben;" d. h. die Theorie giebt den Aufschluß, daß die Electricität die Ursache des chemischen Verhaltens sey, daß aber die Electricität über das, was im chemischen Processe chemisch ist, keinen Aufschluß gebe. - Damit, daß die chemische Differenz überhaupt auf den Gegensatz positiver und negativer Elektricität zurückgeführt wird, wird die Affinitätsverschiedenheit der auf die eine und auf die andere Seite fallenden Agentien unter sich als die Ordnung von zwei Reihen elektropositiver und elektronegativer Körper bestimmt. Bei dem Identificiren der Elektricität und des Chemismus ihrer allgemeinen Bestimmung nach, wird schon dieß übersehen, daß die erstere überhaupt und deren Neutralisirung flüchtig ist und der Qualität der Körper äußerlich bleibt, der Chemismus in seiner Aktion und besonders in der Neutralisation die ganze qualitative Natur der Körper in Anspruch nimmt und alterirt. Ebenso flüchtig ist innerhalb der Elektricität ihr Gegensatz von positiver und negativer; er ist ein so Unstätes, daß er von den geringsten äußerlichen Umständen abhängig ist, und in keinen Vergleich gestellt werden kann mit der Bestimmtheit und Festigkeit des Gegensatzes von Säuren z. B. gegen die Metalle u.s.w. Die Veränderlichkeit, die in diesem chemischen Verhalten, durch höchst gewaltsame Einwirkungen z. B. einer erhöhten Temperatur u.s.f. statt finden kann, steht in keinem Vergleich mit der Oberflächlichkeit des elektrischen Gegensatzes. Der fernere Unterschied nun innerhalb der Reihe jeder der beiden Seiten zwischen mehr oder weniger positiv-elektrischer, oder mehr oder weniger negativ-elektrischer Beschaffenheit, ist vollends sowohl ein völlig Unsicheres als Unkonstatirtes. Aus diesen Reihen der Körper aber (Berzelius am ang. Ort S. 64. f.) "nach ihren elektrischen Dispositionen soll das elektrochemische System entstehen, welches sich von allen am besten eigne, eine Idee voll der Chemie zu geben;" diese Reihen werden nun angegeben; wie sie aber in der That beschaffen sind, darüber wird S. 67. hinzugefügt:

"daß dieß ungefähr die Ordnung dieser Körper sey, aber diese Materie sey so wenig untersucht, daß sich noch nichts ganz Gewisses hinsichtlich dieser relativen Ordnung bestimmen lasse." - Sowohl die Verhältnißzahlen jener (von Richter zuerst gemachten) Affinitätsreihen, als die höchst interessante von Berzelius aufgestellte Reduktion der Verbindungen von zwei Körpern auf die Einfachheit weniger quantitativen Verhältnisse sind ganz und gar unabhängig von jenem elektrochemisch seyn sollenden Gebräue. Wenn in jenen Proportionen und in deren seit Richter nach allen Seiten hin gewonnenen Ausdehnung der experimentale Weg der richtige Leitstern gewesen, so kontrastirt für sich damit umsomehr die Vermischung dieser großen Entdeckungen mit der außer dem Weg der Erfahrung liegenden Oede der sogenannten Korpuskulartheorie; nur dieser Anfang, das Princip der Erfahrung zu verlassen, konnte es motiviren, noch weiter jenen früher von Ritter vornehmlich angefangenen Einfall wieder aufzunehmen, feste Ordnungen von elektropositiven und elektronegativen Körpern, die zugleich chemische Bedeutung haben sollten, aufzustellen.

Schon die Nichtigkeit der Grundlage, die für die chemische Affinität in dem Gegensatze von elektropositiven und elektronegativen Körpern, wenn dieser für sieh auch faktisch richtiger wäre, als er ist, angenommen wird, zeigt sich bald selbst auf dem experimentalen Wege, was denn aber wieder zu weiterer Inkonsequenz führt. Es wird S. 73. (a. a. O.) zugestanden, daß zwei sogenannte elektronegative Körper, wie Schwefel und Sauerstoff auf eine viel innigere Art sich mit einander verbinden, als z. B. der Sauerstoff und das Kupfer, obgleich letzteres elektropositiv sey. Die auf den allgemeinen Gegensatz von positiver und negativer-Elektricität basirte Grundlage für die Affinität muß hier hiermit gegen ein bloßes Mehr oder Weniger innerhalb Einer und derselben Reihe von elektrischer Bestimmtheit zurückgestellt werden. Der Verwandschaftsgrad der Körper, wird nun hieraus geschlossen, hänge demnach nicht allein von ihrer specifischen Unipolarität (mit welcher Hypothese diese Bestimmung zusammenhängt, thut hierher nichts, sie gilt hier nur für das Entweder des Positiven und das Oder des Negativen) ab; der Verwandschaftsgrad müsse hauptsächlich von der Intensität ihrer Polarität im Allgemeinen hergeleitet werden. Hier geht somit näher die Betrachtung der Affinität zu dem Verhältniß der Wahlverwandschaft über, um die uns vornehmlich zu thun ist; sehen wir, was sich denn für diese nun ergiebt. Indem sogleich (ebendas. S. 73.) zugestanden wird, daß der Grad dieser Polarität, wenn sie nicht bloß in unserer Vorstellung existire, keine konstante Quantität zu seyn scheine, sondern sehr von der Temperatur abhänge, so findet sich nach allem diesem als Resultat angegeben, nicht nur, daß jede chemische Wirkung so ihrem Grunde nach ein elektrisches Phänomensey, sondern auch was Wirkung der sogenannten Wahlverwandschaft zu seyn scheine, nur durch eine in gewissen Körpern stärker, als in andren vorhandene elektrische Polarität bewirkt werde. Zum Beschlusse des bisherigen Herumwindens in hypothetischen Vorstellungen bleibt es somit bei der Kategorie stärkerer Intensität, welche dasselbe Formelle als die Wahlverwandschaft überhaupt ist, und diese damit, daß sie auf eine stärkere Intensität elektrischer Polarität gestellt wird, im geringsten nicht weiter auf einen physikalschen Grund bringt als vorher. Aber auch das was hier als größere specifische Intensität bestimmt seyn soll, wird späterhin nur auf die bereits angeführten, von Berthollet aufgezeigten Modifikationen zurückgeführt.

Das Verdienst und der Ruhm von Berzelius wegen der auf alle chemischen Verhältnisse ausgedehnten Proportionenlehre durfte für sich kein Abhaltungsgrund seyn, die Blöße der angeführten Theorie auseinander zu setzen; ein näherer Grund aber, dieß zu thun, muß der Umstand seyn, daß solches Verdienst in einer Seite der Wissenschaft, wie bei Newton, Autorität für ein damit in Zusammenhang gesetztes grundloses Gebäude von schlechten Kategorien zu werden pflegt, und daß gerade solche Metaphysik dasjenige ist, was mit der größten Prätension ausgegeben und ebenso nachgesprochen wird.

Außer den Formen des Maaßverhältnisses, die sich auf die chemische Affinität und Wahlverwandschaft beziehen, können auch noch andere in Rücksicht auf Quantitäten, die sich zu einem System qualificiren, betrachtet werden. Die chemischen Körper bilden in Beziehung auf Sättigung ein System von Verhältnissen; die Sättigung selbst beruht auf der bestimmten Proportion, in welcher die beiderseitigen Mengen, die eine besondere materielle Existenz gegeneinander haben, sich verbinden. Aber es giebt auch Maaßverhältnisse, deren Momente untrennbar sind und nicht in einer eignen von einander verschiedenen Existenz dargestellt werden können. Diese sind das, was vorhin die unmittelbaren selbstständigen Maaße genannt, und die in den specifischen Schweren der Körper repräsentirt sind. - Sie sind innerhalb der Körper ein Verhältniß von Gewicht zum Volumen; der Verhältnissexponent, welcher die Bestimmtheit einer speeifischen Schwere zum Unterschiede von andern ausdrückt, ist bestimmtes Quantum nur der Vergleichung, ein ihnen äußeres Verhältniß in einer äußern Reflexion, das sich nicht auf das eigne qualitative Verhalten zu einer gegenüber stehenden Existenz gründet. Es wäre die Aufgabe vorhanden, die Verhältnißexponenten der Reihe der specifischen Schweren, als ein System aus einer Regel zu erkennen, welche eine bloß arithmetische Vielheit zu einer Reihe harmonischer Knoten specificirte. - Dieselbe Forderung fände für die Erkenntniß der angeführten chemischen Verwandtschaftsreihen statt. Aber die Wissenschaft hat noch weit, um dahin zu gelangen, soweit als dahin, die Zahlen der Entfernungen der Planeten des Sonnensystems in einem Maaßsysteme zu fassen.

Die specifischen Schweren, ob sie gleich zunächst kein qualitatives Verhältniß zu einander zu haben scheinen, treten jedoch gleichfalls in qualitative Beziehung. Indem die Körper chemisch verbunden, auch nur amalgamirt oder synsomatisirt werden, zeigt sich gleichfalls eine Neutralisation der specifischen Schweren. Es ist vorhin die Erscheinung angeführt worden, daß das Volumen, auch des Gemisches von chemisch gegen einander eigentlich gleichgültig bleibenden Materien, nicht von gleicher Größe mit der Summe des Volumens derselben vor der Vermischung ist. Sie modificiren in dieser gegenseitig das Quantum der Bestimmtheit, mit dem sie in die Beziehung eintreten, und geben sich auf diese Weise als sich qualitativ verhaltend gegen einander kund. Hier äußert sich das Quantum der specifischen Schwere nicht bloß als eine fixe Vergleichungszahl, sondern als eine Verhältnißzahl, die verrückbar ist; und die Exponenten der Gemische geben Reihen von Maaßen, deren Fortgang von einem andern Princip bestimmt wird, als den Verhältnißzahlen der specifischen Schweren, die miteinander verbunden werden. Die Exponenten dieser Verhältnisse sind nicht ausschließende Maaßbestimmungen; ihr Fortgang ist ein kontinuirlicher, aber enthält ein specificirendes Gesetz in sich, das von den formell fortgehenden Verhältnissen, in denen die Mengen verbunden werden, verschieden und jenen Fortgang mit diesem inkommensurabel macht.